Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

(17.35)

Это соотношение имеет форму уравнения движения Ньютона для частицы в одном измерении. Поэтому мы можем исследо­вать его по принципу «одинаковые уравнения имеют одинако­вые решения». Таким образом, если поставить в соответствие напряжение Vот внешнего источника приложенной внешней силе F, а ток I в катушке скорости v частицы, то коэффициент индукции катушки жбудет соответствовать массе т частицы (фиг. 17,10, б).

Таблица 17.1 · СОПОСТАВЛЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 8. Индуктивность и магнитная энергия

Продолжая аналогию предыдущего параграфа, мы отметили в таблице, что в соответствии с механическим импульсом p=mv (скорость изменения которого равна приложенной силе) должна существовать аналогичная величина, равная

ж I, ско­рость изменения которой V. Разумеется, мы не имеем права говорить, что ж I — это настоящий импульс цепи; на самом деле это вовсе не так. Вся цепь может быть неподвижна и вооб­ще не иметь импульса. Просто ж Iаналогично импульсу mv в смысле удовлетворения аналогичным уравнениям.

Точно так же кинетической энергии ¹/₂mv² здесь соответствует анало­гичная величина ¹/₂ж ². Но здесь нас ждет сюрприз. Величина ¹/₂aж I² — действительно есть энергия и в электрическом случае. Так получается потому, что работа, совершаемая в единицу времени над индуктивностью, равна VI, а в механической систе­ме она равна Fv — соответствующей величине. Поэтому в слу­чае энергии величины не только соответствуют друг другу в математическом смысле, но имеют еще и одинаковое физиче­ское значение.

Мы можем проследить это более подробно. В (17.16) мы наш­ли, что электрическая работа в единицу времени за счет сил индукции есть произведение э. д. с. и тока:

Подставляя вместо e ее выражение через токи из (17.34), имеем

(17.38)

Интегрируя это уравнение, находим, что энергия, которая требуется от внешнего источника, чтобы преодолеть э. д. с. самоиндукции и создать ток (что должно равняться накоп­ленной энергии U), равна

(17.37)

Поэтому энергия, накопленная в индуктивности, равна ¹/₂ж I^2.Применяя те же рассуждения к паре катушек, изображен­ных на фиг. 17.8 или 17.9, мы можем показать, что полная электрическая энергия системы дается выражением

(17.38)

В самом деле, начиная с тока I=0 в обеих катушках, можно вна­чале включить ток I₁ в катушке 1, оставляя I₂=0. Совершен­ная работа как раз равна ^l/₂ж ₁l₁². Но теперь, включая I₂, мы совершаем не только работу ¹/₂ж ₂I₂² против э. д. с. в цепи 2, но еще и добавочное количество работы —m I₁I₂, которая есть интеграл

от э. д. с. m(dI_z/dt) в цепи 1, умноженный на теперь уже постоянный ток I₁ в этой цепи.

Пусть теперь нам нужно найти силу между любыми двумя катушками, по которым идут токи I₁ и I₂. Прежде всего мы мог­ли бы использовать принцип виртуальной работы, взяв вари­ацию от энергии (17.38). Мы должны помнить, конечно, что при изменении относительного положения катушек единственной меняющейся величиной является коэффициент взаимной индук­ции m. Тогда мы могли бы записать уравнение виртуальной работы в виде

Это уравнение ошибочно, потому что, как мы видели раньше, в него включено только изменение энергии двух катушек и не включена энергия источников, которые поддерживают постоян­ными значения токов I₁и I₂. Мы понимаем теперь, что эти источники должны поставлять энергию для компенсации инду­цированных э. д. с. в катушках во время их движения. Если мы хотим правильно применить принцип виртуальной работы, то должны включить и эти энергии. Но мы видели, что можно сделать и короче — использовать принцип виртуальной рабо­ты, помня, что полная энергия — это взятая с обратным знаком энергия U_мех (то что мы называем «механической энергией»). Поэтому силу можно записать в виде

(17.39)

Тогда сила между катушками дается выражением

Воспользуемся выражением (17.38) для энергии системы из двух катушек, чтобы показать, какое интересное неравенство существует между взаимной индукцией m и коэффициен­тами самоиндукции ж ₁ и ж ₂двух катушек. Ясно, что энергия двух катушек должна быть положительной. Если мы начинаем с нулевых токов в обеих катушках и увеличиваем эти токи до некоторых значений, то тем самым мы увеличиваем энергию всей системы. В противном случае токи самопроизвольно воз­растут и будут отдавать энергию остальному миру — вещь невероятная! Далее, наше выражение для энергии (17.38) можно с

таким же успехом записать в следующей форме:

(17.40)

Это просто алгебраическое преобразование. Эта величина долж­на быть всегда положительна при любых значениях I₁ и I₂. В частности, она должна быть положительна, когда I₂ вдруг примет особое значение:

(17.41)

Но при таком значении I₂ первое слагаемое в (17.40) равно ну­лю. Если энергия положительна, то последнее слагаемое в (17.40) должно быть больше нуля. Мы получаем требование, что

Таким образом, мы доказали общее соотношение, что величина взаимной индукции m любых двух катушек обязательно меньше или равна геометрическому среднему двух коэффициен­тов самоиндукции (сам m может быть положителен или отри­цателен в зависимости от выбора знаков для токов I_t и I₂):

(17.42)

Соотношение между mи коэффициентами самоиндукции обычно записывают в виде

(17.43)

Постоянную k называют коэффициентом связи. Если большая часть потока от одной катушки проходит через другую ка­тушку, то коэффициент связи близок к единице; мы говорим, что катушки «сильно связаны». Если катушки значительно удалены друг от друга или же все устроено так, что взаимное проникновение их потоков очень мало, коэффициент связи становится близок к нулю, а коэффициент взаимной индукции очень мал.

Для вычисления взаимной индукции двух катушек мы дали формулу (17.30), которая представляет собой двойной кон­турный интеграл по обеим цепям. Мы могли бы подумать, что та же формула применима и для вывода коэффициента самоин­дукции одной катушки, если оба контурных интегрирования проводить по одной и той же катушке. Однако это не так, пото­му что при интегрировании по двум катушкам знаменатель r₁₂ под знаком интеграла стремится к нулю, когда два элемента длины находятся в одной точке. Коэффициент самоиндукции, получаемый из этой формулы, оказывается бесконечным. Про­исходит это потому, что формула наша — приближенная, и справедлива она только для поперечных сечений проводов в обеих цепях, малых по сравнению с расстоянием от одной цепи до другой. Ясно, что это приближение для отдельной катушки не годится. На самом деле оказывается, что индуктивность от­дельной катушки стремится логарифмически к бесконечности, когда диаметр ее проволоки становится все меньше и меньше.