Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Значит, мы должны поискать другой способ вычисления коэффициента самоиндукции одной катушки. При этом надо учесть распределение токов внутри проводника, потому что его размеры — важный параметр. Но мы не будем считать полную индуктивность, а сосчитаем лишь ту ее часть, которая связана с расположением проводников, и не будем учитывать часть, связанную с распределением токов. Пожалуй, самый простой способ найти такую индуктивность — это использовать магнит­ную энергию. Ранее, в гл. 15, § 3, мы нашли выражение для магнитной энергии распределения стационарных токов:

(17.44)

Если известно распределение плотности тока j, то можно вы­числить векторный потенциал А, а затем, оценив интеграл (17.44), получить энергию. Эта энергия равна магнитной энер­гии самоиндукции, ^l/₂ж I². Приравнивая их, получаем формулу для индуктивности:

(17.45)

Мы, конечно, ожидаем, что индуктивность есть число, зависящее только от геометрии цепи, а не от тока / в цепи. Формула (17.45) действительно приводит к такому результату, потому что ин­теграл в ней пропорционален квадрату тока — ток входит один раз от j и еще раз от векторного потенциала А. Интеграл, деленный на I², зависит от геометрии цепи, но не от тока I.

Выражению (17.44) для энергии распределения токов можно придать совсем другую форму, иногда более удобную для вы­числений. Кроме того, как мы увидим позже, именно эта форма важна, потому что она справедлива в более общем случае. В формуле (17.44) и А и j можно связать с В, поэтому можно надеяться, что энергия выразится через магнитное поле — точно так же, как нам удалось связать электростатическую энергию с электрическим полем. Начнем с подстановки e₀c²СXВ вместо j. Заменить А мы не можем с той же легкостью, потому что нельзя обратить B=СXA, чтобы выразить А через В. Можно только

записать

(17.46)

Любопытно, что при некоторых ограничениях этот интеграл можно превратить в

(17.47)

Чтобы увидеть это, выпишем подробно типичный множитель. Предположим, что мы взяли множитель (СXB)_zA_z, входящий в интеграл (17.46). Выписывая полностью компоненты, полу­чаем

(имеются, конечно, еще два интеграла того же сорта). Проинте­грируем теперь первый множитель по х, интегрируя по частям,

Теперь предположим, что наша система (имея в виду источники и поля) — конечная, так что, когда мы уходим на большие рас­стояния, все поля стремятся к нулю. Тогда при интегрировании по всему пространству подстановка B_yA_zна пределах интеграла дает нуль. У нас остается только В (дА_г/дх); это, очевидно, есть часть от B_y(СXA)_yи, значит, от В·(СXA). Если вы вы­пишите остальные пять множителей, то увидите, что (17.47) на самом деле эквивалентно (17.46).

А теперь мы можем заменить (СXA) на В и получить

(17.48)

Мы выразили энергию в магнитостатическом случае только через магнитное поле. Выражение тесно связано с формулой, которую мы нашли для электростатической энергии:

(17.49)

Эти две энергетические формулы выделены потому, что иногда ими удобнее пользоваться. Обычно есть и более важная причина: оказывается, что для динамических полей (когда Е и В меняются со временем) оба выражения (17.48) и (17.49) остаются справедливыми, тогда как другие данные нами фор­мулы для электрической и магнитной энергий перестают быть верными — они годятся лишь для статических полей.

Если нам известно магнитное поле В одной катушки, мы можем найти коэффициент самоиндукции, приравнивая выра­жение для энергии (17.48) и ¹/₂жI². Посмотрим, что получится в результате для индуктивности длинного соленоида. Раньше мы видели, что магнитное поле в соленоиде однородно и В снаружи равно нулю. Величина поля внутри равна В=nI/e₀с², где n — число витков на единицу длины намотки, а I — ток. Если радиус катушки r, а длина ее L (мы считаем, что L очень велика, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами, т. е. L >>r), то внутренний объем равен pr²L. Следовательно, магнитная энергия равна

что равно ¹/₂^I². Или

(17.50)

* Кстати, это не единственный способ установления соответствия между механическими и электрическими величинами.

* Мы пренебрегаем всеми тепловыми потерями энергии в сопротив­лении катушки. Эти потери требуют дополнительных затрат энергии источника, но не меняют энергии, которая тратится на индуктивность.

Глава 18 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

§ 1. Уравнения Максвелла

§ 2. Что дает добавка

§ 3. Все о класси­ческой физике

§ 4. Передвигаю­щееся поле

§ 5. Скорость света

§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

§ 1. Уравнения Максвелла

В этой главе мы вернемся к полной системе из четырех уравнений Максвелла, которые мы приняли как отправной пункт в гл. 1 (вып. 5). , До сих пор мы изучали уравнения Максвелла не­большими частями, кусочками; теперь пора уже прибавить последнюю часть и соединить их все воедино. Тогда мы будем иметь полное и точное описание электромагнитных полей, которые могут изменяться со временем произвольным образом. Все сказанное в этой главе, если даже оно и будет противоречить чему-то сказанному ранее, правильно, а то, что говорилось ранее в этих случаях, неверно, потому что все высказанное ранее применялось к таким част­ным случаям, как, скажем, случаи постоянного тока или фиксированных зарядов. Хотя всякий раз, когда мы записывали уравнение, мы весьма старательно указывали ограничения, легко по­забыть все эти оговорки и слишком хорошо заучить ошибочные уравнения. Теперь мы можем изложить всю истину, без всяких ограни­чений (или почти без них).

Все уравнения Максвелла записаны в табл. 18.1 как словесно, так и в математических символах. Тот факт, что слова эквивалентны уравнениям, должен быть сейчас вам уже зна­ком — вы должны уметь переводить одну форму в другую и обратно.

Первое уравнение — дивергенция Е равна плотности заряда, деленной на e_о,— правильно всегда. Закон Гаусса справедлив всегда как в динамических, так и в статических полях. Поток Е через любую замкнутую поверхность пропорционален заключенному внутри заряду. Третье уравнение — соответствующий общий закон для магнитных полей.