Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

У подавляющего большинства материалов полный магнитный момент появляется только тогда, когда там присутствуют атомы с незаполненной внутренней электронной оболочкой. Благода­ря этому они могут иметь суммарный момент количества дви­жения и магнитный момент. Такие атомы принадлежат к «пере­ходным элементам» периодической таблицы Менделеева, на­пример: хром, марганец, железо, никель, кобальт, палладий и платина — элементы как раз такого сорта. Кроме того, все редкоземельные элементы имеют незаполненную внутреннюю оболочку, а следовательно, и постоянные магнитные моменты. Правда, встречаются еще странные вещества (к числу их отно­сятся жидкий кислород и окись азота), которые, оказывается, тоже обладают магнитным моментом, но объяснить причины этих странностей я предоставляю химикам.

Предположим теперь, что у нас есть ящик, наполненный молекулами или атомами с постоянным магнитным моментом, скажем газ, жидкость или кристалл. Нам хочется знать, что получится, если мы поместим его во внешнее магнитное поле. В отсутствие магнитного поля атомы сбиваются тепловым движением и их магнитные моменты распределяются по всем направлениям. Но когда действует магнитное поле, оно выстра­ивает эти маленькие магнитики, так что магнитных моментов, направленных по полю, становится больше, чем направленных против него. Материал «намагничивается».

Намагниченность М материала мы определяем как полный магнитный момент единицы объема, под которым мы понимаем векторную сумму всех атомных магнитных моментов единицы объема. Если среднее число атомов в единице объема равно N, а их средний момент равен <m>_cp, то М можно записать как про­изведение N на средний магнитный момент:

м = n<m>_cp. (35.8)

Это определение М аналогично определению электрической поляризации Р, данному в гл. 10 (вып. 5).

Классическая теория парамагнетизма, как вы уже убедились в гл. 10 (вып. 5), в точности аналогична теории диэлектрической проницаемости. Предполагается, что магнитный момент m каждого из атомов всегда имеет одну и ту же величину, но может быть направлен в любую сторону. Магнитная энергия в поле В равна -m·B=-mBcosq, где q — угол между моментом и полем. Согласно статистической физике, относительная вероят­ность угла равна e^{– энергия/kT} так что угол 0° более вероятен, чем угол p. Следуя в точности по пути, проделанному нами в гл. 11, § 3 (вып. 5), мы обнаружим, что для слабых магнитных полей М направлена параллельно В и имеет величину

[См. выражение (11.20), вып. 5.] Эта приближенная формула верна, только когда отношение mB/kT много меньше единицы.

Мы нашли, что намагниченность, т. е. магнитный момент единицы объема, пропорциональна магнитному полю. Это яв­ление и называется парамагнетизмом. Вы увидите, что эффект сильнее проявляется при низких температурах и слабее при высоких. При помещении вещества в магнитное поле возникаю­щий в нем магнитный момент в случае слабых полей пропор­ционален величине поля. Отношение М к В (для слабых полей) называется магнитной восприимчивостью.

Рассмотрим теперь парамагнетизм с точки зрения квантовой механики. Обратимся сначала к атомам со спином ¹/₂. Если в отсутствие магнитного поля атомы обладают вполне определенной энергией, то в магнитном поле энергия изменится; возможны два значения энергии для разных значений J_z. Для J_z=+h/2

магнитное поле изменяет энергию на величину

(Для атомов сдвиг энергии DU положителен, ибо заряд элек­трона отрицателен.) Для J_г =-h/2 энергия изменяется на величину

Для сокращения записи обозначим

тогда

DU = ±m₀В. (35.13)

Совершенно ясен и смысл m₀; — m₀равно z-компоненте маг­нитного момента для спина, направленного вверх, а + m₀ равно z-компоненте магнитного момента в случае спина, на­правленного вниз.

Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна

g ^{– (энергия состояния)/ kT} _.

В отсутствие магнитного поля энергия обоих состояний одна и та же, поэтому в случае равновесия в магнитном поле ве­роятности пропорциональны

е^{– DU/kT}, (35.14)

Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно

а со спином, направленным вниз,

Постоянная а должна определяться из условия

N_вверх+N_вниз=N (35.17)

т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем

Однако нас интересует средний магнитный момент в на­правлении оси z. Каждый атом со спином, направленным вверх, дает в этот момент вклад, равный -m₀, а со спином, направленным вниз, + m₀, так что средний момент будет

Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен N<m>_ср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), по­лучим

Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=¹/₂. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс:

График зависимости М он В приведен на фиг. 35.7.

Фиг. 35.7. Изменение намаг­ниченности парамагнетика при изменении напряженности магнитного поля В.

Когда поле В становится очень большим, гиперболический тангенс приближается к единице, а М — к своему предельному зна­чению Nm₀. Таким образом, при сильных полях происходит насыщение. Нетрудно понять, почему так получается — ведь при достаточно больших полях все магнитные моменты выстраи­ваются в одном и том же направлении. Другими словами, при насыщении все атомы находятся в состоянии со спинами, направленными вниз, и каждый из них дает вклад в магнитный момент, равный m₀.