Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Другое важное отличие в случае ядер состоит в том, что g-фактор спинового магнитного момента протона не равен 2, как у электрона. Для протона g=2·(2,79). Крайне удивительно, что спиновый магнитный момент есть и у нейтрона и отношение этого магнитного момента к моменту количества движения равно 2·(-1,93). Другими словами, нейтрон в магнитном смысле не будет в точности «нейтральным». Он напоминает маленький маг­нитик и имеет такой же магнитный момент, как и вращающийся отрицательный заряд.

§ 3. Прецессия атомных магнитиков

Одно из следствий пропорциональности магнитного момента моменту количества движения заключается в том, что атомные магнитики, помещенные в магнитное поле, будут прецессироватъ. Обсудим это сначала с точки зрения классической физики. Пусть у нас имеется магнитный момент m, свободно висящий в однородном магнитном поле. Он испытывает действие момента силы t, равного mXB, пытающегося повернуть его в том же направлении, что и поле. Но атомный магнит — ведь это гиро­скоп, у него есть момент количества движения J. Поэтому момент силы от магнитного поля не вызовет поворота в направлении поля. Вместо этого магнит, как мы видели, когда говорили о гироскопе в гл. 20 (вып. 2), начнет првцессироватъ. Момент количества движения, а вместе с ним и магнитный момент прецессируют вокруг оси, параллельной магнитному полю. Скорость прецессии можно найти тем же мето­дом, что и в гл. 20 (вып. 2).

Предположим, что за малый промежуток времени Dt момент количества движения меняется от J до J' (фиг. 34.3), оставаясь при этом всегда под одним и тем же углом q к направлению маг­нитного поля В.

Фиг. 34.3. Объект в моментом количества движения J и параллельным ему магнитным моментом m в магнитном поле В прецессирует с угловой скоростью w _p ,.

Обозначим через w_p угловую скорость прецес­сии, так что за промежуток времени Dt угол прецессии будет равен w_pDt. Из геометрии рисунка мы видим, что изменение момента количества движения за время Dt равно

DJ=(Jsinq)(w_pDt), а скорость изменения момента количества движения

dJ/dt=w_pJsinq (34.8)

что должно равняться моменту силы

t=mBsinq. (34.9)

Угловая скорость прецессии будет равна

Подставляя из уравнения (34.6) отношение m/J, мы видим, что для атомной системы

w_p=g(q_e/2m)B (34.11)

т. е. частота прецессии пропорциональна В. Полезно запом­нить, что для атома (или электрона)

а для ядра

(Формулы для атомов и ядер различны только благодаря раз­личным соглашениям относительно g в этих двух случаях.) Итак, в соответствии с классической теорией электронные ор­биты и спины в атоме должны прецессировать в магнитном поле. Верно ли это и в квантовой механике? В сущности это верно, однако смысл «прецессии» здесь совсем иной. В квантовой механике нельзя говорить о направлении момента количества движения в том же смысле, как это делается классически; тем не менее аналогия здесь очень близкая, настолько близкая, что мы продолжаем пользоваться термином «прецессия». Мы еще обсудим это позднее, когда будем говорить о квантовомеханической точке зрения.

§ 4. Диамагнетизм

Рассмотрим теперь с классической точки зрения диамагнетизм. К этому можно подойти несколькими путями, но один из лучших такой. Предположим, что по соседству с атомом мед­ленно включается магнитное поле. При изменении магнитного поля благодаря магнитной индукции будет генерироваться электрическое поле. По закону Фарадея контурный интеграл от Е по замкнутому контуру равен скорости изменения магнит­ного потока через этот контур. Предположим, что в качестве контура Г мы выбрали окружность радиусом r, центр которой совпадает с центром атома (фиг. 34.4).

Фиг. 34.4. Индуцированные элект­рические силы, действующие на элект­роны в атоме.

Среднее тангенциальное электрическое поле Е на этом контуре определяется выраже­нием

т. е. возникает циркулирующее электрическое поле, напряжен­ность которого равна

Индуцированное электрическое поле, действуя на атомный электрон, создает момент силы, равный -q_eEr, который дол­жен быть равен скорости изменения момента количества дви­жения dJ/dt:

Интегрируя теперь по времени, начиная с нулевого поля, мы находим, что изменение момента количества движения из-за включения поля будет равно

Это и есть тот дополнительный момент количества движения, который сообщается электрону за время включения поля.

Такой добавочный момент количества движения приводит к добавочному магнитному моменту, который благодаря тому, что это орбитальное движение, равен просто произведению -q_e/2m на момент количества движения. Наведенный диамаг­нитный момент

Знак минус (как можно убедиться непосредственно из закона Ленца) означает, что направление добавочного момента проти­воположно магнитному полю.

Мне бы хотелось написать выражение (34.16) несколько по-иному. Появившаяся у нас величина r² представляет собой рас­стояние от оси, проходящей через атом и параллельной полю В, так что если поле В направлено по оси z, то оно равно x²+y². Если мы рассмотрим сферически симметричные атомы (или усредним по атомам, естественные оси которых могут распола­гаться во всех направлениях), то среднее от z²+y² равно ²/₃ среднего квадрата истинного радиального расстояния от центра атома. Поэтому уравнение (34.16) обычно более удобно записы­вать в виде

Во всяком случае, мы нашли, что индуцированный атомный момент пропорционален магнитному полю В и противоположен ему по направлению. Это и есть диамагнетизм вещества. Именно этот магнитный эффект ответствен за малые силы, действующие на кусочек висмута в неоднородном магнитном поле.(Вы можете определить величину этой силы, воспользовавшись выражением для энергии наведенного момента в поле и результатами изме­рений изменения энергии при движении образца в область сильного поля или из нее.)

Но перед нами все еще стоит такая проблема: чему равен средний квадратичный радиус <r²>_ср? Классическая механика не может дать нам ответа. Мы должны вернуться назад и, во­оружившись квантовой механикой, начать все снова. Мы не можем знать, где именно находится электрон в атоме, а знаем лишь, что имеется вероятность его обнаружить в некотором месте. Если мы будем интерпретировать <r²>_ср как среднее значение квадрата расстояния от центра для данной вероят­ности распределения, то диамагнитный момент, даваемый квантовой механикой, определяется тем же самым выражением (34.17). Оно, разумеется, дает нам момент одного электрона. Полный же момент будет суммой по всем электронам в атоме. Удивительно, что и классические рассуждения и квантовая механика дают тот же ответ, хотя, как мы увидим дальше, «классические» рассуждения, которые приводят к (34.17), на самом деле несостоятельны в рамках самой классической ме­ханики.