Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать

Р_x =a_xxE_x, Р_у=a_ухЕ_х, Р_z=a_zxЕ_x. (31.1)

Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направ­ленное по оси х, создает поляризацию не только в этом нап­равлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Р_х, Р_yи P_z, каждая из которых пропорциональна Е_х. Коэффициен­ты пропорциональности мы назвали a_хх, a_ухи a_zx (первый зна­чок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению электрического поля).

Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать

Р_х=a_хуЕ_y, Р_у=a_ууЕ_у, Р_z=a_гуЕ_у, (31.2)

а для поля в z-направлении

P_x=a_xzE_z, P_y=a_yzE_z P_z=a_zzE_z. (31,3)

Дальше мы говорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то x-компонента поляризации Р будет суммой двух Р_х, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и z, то состав­ляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде

Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, пол­ностью описываются девятью величинами (a_xx,, a_xy,,a_xz,a_yz , ...), которые можно записать в виде символа a_ij. (Индексы i и j заменяют одну из трех букв: х, у или z.) Произвольное электри­ческое поле Е можно разложить на составляющие Е_x, Е_yи Е_z. Зная их, можно воспользоваться коэффициентами a_ijи найти Р_х, Р_y и P_z, которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов a_ijназывается тензором — в данном примере тензором поляризуемости. Точно так же как три величины (Е_х, Е_у, Е_z) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величин (a_хх, a_ху, ...)«образуют тензор a_ij».

§ 2. Преобразование компонент тензора

Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' и z' компоненты вектора Е_х', Е_у', Е_г'тоже оказываются другими. То же самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты a_ijоказываются различными. Однако вполне можно выяснить, как должны изме­няться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же самое электрическое поле, но в но­вой системе координат, мы должны получить ту же самую по­ляризацию Р. Для любой новой системы координат P_x' будет линейной комбинацией Р_х, Р_y' , и Р_z':

Р _{x ’} =аР _х +bР _у +сР _z ,

и аналогично для других компонент. Если вместо Р_х, Р_yи Р_{zподставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится}

Теперь напишите, как выражается Е_х, Е_yи E_zчерез Е_x' , Е_{y'и Еz' , например,}

E _x = a'E _{x '} +b'E _{y '} +c'E _{z '} ,

где числа а', b' и с' связаны с числами а, b и c, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р_х'через компо­ненты Е_х', Е_y'и E_z' , т. е. получились новые a_ij. Никаких хит­ростей здесь нет, хотя все это достаточно запутано.

Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Если же вместе с осями поворачивать и кристалл, то a не изме­няются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориен­тацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов а. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристал­ла, то с помощью только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости a_ij. в любой про­извольно выбранной системе координат. Точно так же как век­тор скорости v = (v_x, v_y , v_z) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменять­ся некоторым определенным образом, тензор поляризуемости a_ij, девять компонент которого при изменении системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, мож­но связать с кристаллом.

Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в бо­лее компактном виде:

где под значком i понимается какая-то из трех букв х, у или z, а суммирование ведется по j=x, у и z. Для работы с тензорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из та­ких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (S) в уравнении (31.5), понимая при этом, что когда один и тот же индекс встречается дважды (в нашем случае j), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса. Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений.