Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

<0|x>=d(x), (14.40)

где d (х)определяется соотношением

Посмотрите, что выйдет, если вместо y в (14.41) поставить частную функцию «1». Тогда получится

Иначе говоря, функция d(х)обладает тем свойством, что всюду, кроме х=0, она равна нулю, но интеграл от нее конечен и равен единице. Приходится вообразить, что функция d(х) обладает в одной точке такой фантастической бесконечностью, что полная площадь оказывается равной единице.

Как представить себе, на что похожа d-функция Дирака? Один из способов — вообразить последовательность прямо­угольников (или другую, какую хотите функцию с пиком), которая становится все уже и уже и все выше и выше, сохраняя все время единичную площадь, как показано на фиг. 14.2.

Фиг. 14.2. Последователь­ность функций, ограничиваю­щих единичную площадь, вид которых все сильнее и сильнее напоминает d-функцию.

Интеграл от этой функции от -Ґ до +Ґ всегда равен единице. Если вы умножите ее на произвольную функцию y(х)и проин­тегрируете произведение, то получите нечто, приближенно сов­падающее со значением функции при х=0, причем приближение становится все лучше и лучше, по мере того как прямоугольники становятся уже и уже. Если хотите, можете представлять d-функцию посредством такого рода предельного процесса. Но единственно здесь важно то, что d-функция определена так, что (14.41) справедливо для каждой волновой функции y (х).

Это однозначно определяет d-функцию. Ее свойства тогда получаются такими, как было сказано.

Заменим аргумент d-функции с х на х- х', и соотношения обратят­ся в d(х-x')=0,

Если в (14.38) вместо амплитуды <x|х'> подставить d(x– х'), то это уравнение будет выполнено. В итоге получаем, что для наших базисных состояний с координатой х условие, соответствующее формуле (14.36), имеет вид

<x'|x>=d(x– х'). (14.44)

Теперь мы завершили все необходимые видоизменения наших основных уравнений, нужные для работы с континуумом ба­зисных состояний, соответствующих точкам на прямой. Обобще­ние на три измерения вполне очевидно: во-первых, координата х заменяется вектором r; во-вторых, интегралы по х заменяются на интегралы по х, у и z (иными словами, они становятся интегралами по объему); в-третьих, одномерную d-функцию надо заменить просто произведением трех d-функций от x, от y и от z: d (х-х') d (у- у') d (z-z'). Собирая все вместе, получаем следующую совокупность уравнений для амплитуд частицы в трехмерном мире:

А что бывает, когда частиц не одна, а больше? Мы расскажем вам, как управляться с двумя частицами, и вы сразу поймете, что нужно делать, если вам понадобится оперировать с несколь­кими частицами. Пусть имеются две частицы; назовем их № 1 и № 2. Что применить в качестве базисных состояний? Одну вполне приемлемую совокупность можно задать, сказав, что частица № 1 находится в х₁, а частица № 2 — в х₂, и записав это в виде

|x₁, х₂>. Заметьте, что указание координаты только одной ча­стицы не определяет базисного состояния. Каждое базисное состояние обязано определять условия всей системы целиком. Вы не должны думать, что каждая частица движется независимо как трехмерная волна. Всякое физическое состояние |y> можно определить, задав все амплитуды <x₁, х₂|y> того, что пара частиц будет обнаружена в х₁и x₂. Эта обобщенная амплитуда поэтому является функцией двух совокупностей координат x₁ и x₂. Вы видите, что такая функция — это уже не волна в смысле колебания, которое разбегается в трех измерениях. Точно так же это и не простое произведение двух самостоятельных волн, по одной для каждой частицы. Это в общем случае какая-то волна в шести измерениях, определяемых числами х₁и x₂. Если в при­роде имеются две взаимодействующие частицы, то не существует способа описать то, что происходит с одной из частиц, попытав­шись выписать волновую функцию для нее одной. Известные парадоксы, которые мы рассматривали в первых главах (где объявлялось, что измерения, проделанные над одной частицей, в состоянии предсказать, что будет с другой, или что они могут разрушить интерференцию), причинили людям много неприятностей, потому что они пытались придумывать волновую функцию одной отдельной частицы вместо правильной волновой функции координат обеих частиц. Полное описание можно правильно провести только в терминах функций координат обеих частиц.

§ 5. Уравнение Шредингера

До сих пор мы просто заботились о том, как бы записать состояния, которые бы учитывали, что электрон может находить­ся в пространстве где угодно. Теперь же следует позаботиться о включении в наше описание физики того, что может произойти в тех или иных обстоятельствах. Как и прежде, надо подумать о том, как состояния будут меняться со временем. Если у нас есть состояние |y>, которое несколько позже переходит в дру­гое состояние |y>, то положение в любой момент мы сможем описать, сделав волновую функцию (т. е. попросту амплитуду <r|y>) функцией не только координат, но и времени. Частицу в данных условиях можно будет тогда описывать, задавая меняющуюся во времени волновую функцию y (r, t) =y (х, у, z, t). Эта меняющаяся во времени волновая функция описывает эво­люцию последовательных состояний, которая происходит с тече­нием времени. Это так называемое «координатное представле­ние»; оно дает проекции состояния |y> на базисные состояния |r> и не всегда может считаться самым удобным, но мы с него

и начнем.

В гл. 6 мы описали на языке гамильтониана Н_ij., как состоя­ния меняются во времени. Мы видели, что временная вариация различных амплитуд дается матричным уравнением

Это уравнение говорит, что изменение во времени каждой из амплитуд С_iпропорционально сумме всех прочих амплитуд С_j

с коэффициентами Н_ij.

Как должно выглядеть (14.49) при континууме базисных состояний |x>? Вспомним сперва, что (14.49) можно также запи­сать в виде

Теперь ясно, что делать. Для x– представления следует писать

Сумма по базисным состояниям |j> заменяется интегралом по х'. Поскольку <х|Н^|х'>должна быть какой-то функцией от x и х', запишем ее как Н (х, х'), что соответствует Н _ifв (14.49). Тогда (14.50) это то же самое, что

где

Согласно (14.51), быстрота изменения y в точке х зависела бы от значений y во всех других точках х'; множитель Н(х, х') — это амплитуда (в единицу времени) того, что электрон перепры­гнет из х' в x. Оказывается, однако, что в природе эта амплитуда всюду, кроме точек х' , очень близких к х, равна нулю. Это озна­чает, как мы видели на примере цепочки атомов в начале главы [см. (14.12)], что правая часть (14.51) может быть полностью выражена только через y и ее производные по z в точке х.

Для частицы, которая свободно движется в пространстве, не подвергаясь действию каких-либо сил и возмущений, пра­вильный физический закон таков:

Откуда это получается? Это невозможно вывести из чего-либо нам уже известного. Это рождено в голове Шредингера, это вы­думано им в битве за понимание экспериментальных наблюдений реального мира. Может быть, какой-то ключ к тому, почему так должно быть, вам дадут размышления по поводу нашего вывода уравнения (14.12), которое проистекло из рассмотрения распро­странения электрона в кристалле.