Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

е^id=±1,

а это означает, что или

В классической физике, если состояние симметрично отно­сительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается

либо то же состояние, либо минус то же состояние. Когда полу­чается то же состояние, Р^|y₀>=|y₀>, мы говорим, что у со­стояния |y₀> четность положительна. Если знак меняется, так что Р^|y₀>=-|y₀>, мы говорим, что четность состояния отрицательна. (Оператор инверсии Р^ известен также как опе­ратор четности.) Состояние |I> иона Н⁺₂ обладает положитель­ной четностью; состояние же |II> — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные отно­сительно операции Р^;это состояния без определенной четности. Например, в системе Н⁺₂ состояние |I> имеет положительную четность, состояние | II> — отрицательную, а состояние | 1у определенной четности не имеет.

Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической системой», то это можно пред­ставлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку -r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х', y', z', связанной со старой формулами х'=-х, у' =-у и z'=-z. Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем цели­ком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол q подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —q. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов.

Многие законы физики (но не все) не меняются при отраже­нии или инверсии координат. Они симметричны по отношению к инверсии. Законы электродинамики, например, не изменяются, если мы меняем x на -х, у на -у и z на -z во всех уравнениях. То же относится и к законам тяжести, и к сильным взаимодей­ствиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за b-распад, нет такой симметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).] Но мы сейчас пре­небрежем b-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, b-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем испускание света атомом), гамильтониан H^ и оператор Р^ будут коммутировать, В этих обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четность состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физиче­ской ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например, нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью. Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет поло­жительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрица­тельной четности). Этот принцип именуется сохранением чет­ности. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четно­сти» и «симметрия относительно отражений» в квантовой меха­нике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не так. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция b-pacпада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаружен­ной в других законах физики.

Теперь мы можем доказать интересную теорему (справедли­вую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно прене­брегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие со­стояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.)

Мы знаем, что если |y₀> — состояние определенной энергии, то

где Е — просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор Q^, который является оператором сим­метрии для системы, то мы можем доказать, что

если только |y₀> — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние |y₀> которое вы получаете после действия Q^. Если вся физика симметрична, то |y'₀> должно иметь ту же энергию, что и |y₀>. Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно |y₀>; значит, |y'₀> должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой. Таково физическое доказательство.

Но то же последует и из нашей математики. Наше определе­ние симметрии —это (15.10) или (15.11), справедливое для лю­бого состояния |y>:

Но сейчас речь идет о состоянии |y₀>, которое является состоя­нием с определенной энергией, так что Н^|y₀>=Е|y₀>. А раз Е — просто число, то оно попросту проходит сквозь Q^, и мы имеем

так что

Значит, |y'₀>=Q^ ly₀> — тоже состояние H^ с определенной энергией и при этом с тем же самым Е. Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, |y₀> должно быть равно ё^id|y₀>.

Все, что мы только что доказали, относится к любому опера­тору Q^, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого b-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах Р^|y>=е^id|y>. Но мы видели также, что е^idобязано равняться либо +1, либо -1. Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положитель­ной, либо отрицательной четностью.

§ 3. Законы сохранения

Обратимся теперь к другому интересному примеру операции симметрии — к повороту. Рассмотрим частный случай опера­тора, который поворачивает атомную систему на угол j вокруг оси z. Обозначим этот оператор R^z. Предположим еще, что никаких влияний, выстроенных вдоль осей х и у, в нашем физи­ческом случае нет. Все электрические или магнитные поля взяты параллельными оси z, так что никаких изменений во внешних условиях от поворота всей физической системы вокруг оси z не наступит. Например, если имеется атом в пустом простран­стве и мы повернем этот атом вокруг оси z на угол j, то получим ту же физическую систему.

Тогда существуют особые состояния, обладающие тем свойст­вом, что такая операция создает новое состояние, равное перво­начальному, умноженному на некоторый фазовый множитель. Заметим, что когда это так, то изменение фазы обязано быть всегда пропорционально углу j. Представьте, что вы дважды захотели бы сделать поворот на угол j. Это равносильно тому, что повернуть на угол 2j. Если поворот на угол j имеет своим следствием умножение состояния |y₀> на фазовый множи­тель e^id, так что

то два таких поворота, один вслед за другим, привели бы к умножению состояния на множитель (е^id)²=е^i2d, так как

Изменение фазы d оказывается пропорциональным . Мы, стало быть, рассматриваем лишь те особые состояния |y₀>, для которых