Фейнмановские лекции по гравитации

– h

_,

^,

+

h

_,

^,

+

h

_,

^,

=

S

,

где

S

=-

1

I

h

.

(16.1.4)

Заметим, что S есть та величина, которую мы называли ^newT в лекции 6 (см. соотношение (6.1.2)). Что мы должны делать дальше? Из-за тщательного построения первоначального действия как инвариантного интеграла может быть показано, что обыкновенная дивергенция тензора источника S тождественно равна нулю. В импульсном представлении

k

S

=

0.

(16.1.5)

Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой h бездивергентным и, таким образом, получить решение

k

h

=

0->

k^2

h

=

S

,

h

=

k^2+i

S

.

(16.1.6)

Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определён на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи , мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка . Ключевыми разложениями являются разложение g и разложение g. Первое легко может быть выписано по аналогии с разложением (1+x)^1, когда x есть малая величина. Мы имеем

g

=

+

2

h

^1

=

=

–

2

h

+

4^2

h

h

–

3^3

h

h

h

+… ,

(16.1.7)

где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения -g может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при

g

=

+

2

h

,

мы имеем

– Det g

=

=

– Det

exp

1

2

Tr log

+

2

h

=

exp

1/2 Tr

2

h

–

1

2

(2)^2

h

h

+

1

3

(2)^3

h

h

h

+…

=

exp

1

2

2

h

–

1

2

2^2

h

h

+

1

3

(2)^3

h

h

h

+…

=

1

+

h

–

^2

h

h

+… .

(16.1.8)

Подставляя эти выражения для -g и для g в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:

S

_m

=

1

2

–

2

h

+

(2)^2

h

h

+…

(

_,

_,

)

–

m^2^2

x

x

1+

h

–

^2

(h

h

)

+…

dx

=

=

1

2

dx

(

^,

_,

–

m^2^2

)-

dx

h

_,

_,

+

1

2

m^2^2

–

– ^2

dx

1

2

h

h

(

^,

_,

–

m^2^2

)-

2h

h

_,

_,

.

(16.1.9)

Рис. 16.1.

Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей и одного h, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :