Фейнмановские лекции по гравитации

empty-line/>

1

3

t

+

2m

r^3

x

1

–

2m

r

^1

.

(14.1.10г)

Какие же условия мы выбираем в качестве граничных? Мы предполагаем определённую температуру в центре и то, что поверхность является много холоднее, по существу температура равна нулю по сравнению с температурой в центре звезды. Входные величины для нахождения решений t(r) и m(r) попросту являются следующими:

m=0,

t=t

_c

,

при

r=0.

(14.1.11)

Эта задача сформулирована таким способом, что численное решение такой задачи получается очень легко. Мы начинаем решение от центра, где мы знаем, что m(r)=0 и t(r)=t_c; мы вычисляем (dm/dr) из соотношения (14.1.10в), и вычисляем (dt/dr) из соотношения (14.1.10г), и затем прыгаем вперёд и назад между этими уравнениями для того, чтобы получить функции m(r) и t(r). Так как производная (dt/dr) будет всегда отрицательна при положительном t, то в некоторой точке r, t обращается в нуль. Мы останавливаем решение в этой точке и предполагаем, что более физическое решение изменило бы только наиболее внешние слои звезды для того, чтобы сделать его убывающим более гладко по направлению к нулевой плотности, без изменения решения во внутренней части области какого угодно большого размера. Таким образом, предполагается, что радиус r - есть радиус звезды, а величина m=m(r) - полная масса звезды.

14.2. Значение решений и их параметры

Решение, которое мы описали, оказывается справедливым для многих типов звёзд, таким образом, звёзды описываются всевозможными значениями параметра . Для того, чтобы дать идею определения величин m и r для интересующих нас случаев, мы даём коэффициенты перевода к более обычным единицам:

M

Масса звезды

=

=(27x10

солнечная масса

)2m/^2

,

(14.2.1а)

R

Радиус звезды

=

(8x10^1^2)r/^2

,

(14.2.1б)

T

_c

Температура в центре звезды

=

=

t

_c

(10

градусов

),

(14.2.1в)

M

_rest

Масса нуклонов звезды

=

=(27x10

солнечная масса

)2N/^2

.

(14.2.1г)

Существуют различные способы, пользуясь которыми мы можем увидеть, что наши уравнения описывают то, что наша интуиция одобряет. Например, для случая, когда масса m(r) никогда не становится слишком большой, давление меняется в зависимости от радиуса в соответствии с ньютоновским правилом:

dp

dr

=-

m(r)

r^2

.

(14.2.2)

Интересный момент связан с полным числом нуклонов. Хотя мы могли бы иметь искушение записать попросту 4drsr^2, нам бы следовало вспомнить и написать соответствующие инвариантные выражения. Правильное выражение есть

N

=

r

0

s

– g

dr

d

d

,

– g

=

e

^/2

e

^/2

r^2sin

,

(14.2.3)

где s есть временной компонент четыре-вектора s. Мы можем вычислить эту величину и провести интегрирование в системе, в которой нуклоны находятся в покое, в этой системе только временной компонент оказывается не равным нулю, так что мы приходим к выводу о том, что

s

s

=

(s)^2

=

g

ss

,

s

=

s

e

^{– /2}

.

(14.2.4)

Итак, имеем следующий результат для полного числа нуклонов

N

=

4

r

0

dr

sr^2

1

1-2m/r

.

(14.2.5)

Давайте вновь посмотрим на выражение для массы звезды и попытаемся понять его более полным образом. Плотность есть сумма двух членов, энергии, соответствующей массе покоя s, и энергии излучения . Когда мы выписываем явно массу как интеграл по правильным образом выбранным инвариантным элементам, мы видим, что плотность умножается на некоторую величину, из которой вычисляется квадратный корень,

m<=m

=

4

r

0

r^2dr

1-2m/r

1-2m/r

.

(14.2.6)

Это в точности тот результат, который мы могли бы ожидать из релятивистской теории, множитель с квадратным корнем вносит поправку, учитывающую изменение плотности энергии, обусловленное влиянием гравитационной энергии.

Таблица 14.1.

t

_c

r

2m

2N

0.01

1100

8.45

8.45

0.10

114

6.23

6.19

0.20

59

4.71

4.62

0.40

36

3.13

2.97

0.60

28

2.39

2.19

1.00

32

1.87

1.66

Когда мы берём температуру выше, чем 10 градусов, мы должны остерегаться попыток использования таких решений, поскольку новые физические процессы, которые имеют место при столь высоких температурах, могут сделать наше уравнение состояния полностью неадекватным. Например, если нейтринные пары могут рождаться при электрон-электронных столкновениях, они могут уносить большое количество энергии, так что наши приближения могут быть полностью несправедливыми. Может оказаться, что такие процессы будут важны при температуре 10 градусов, температуре, которая достаточно велика для того, чтобы существенная часть частиц имела достаточную кинетическую энергию для того, чтобы образовать электронные пары. Возможность образования таких пар будет изменять соотношения, связывающие величины s и и величины и p. Тем не менее, в этом адиабатическом приближении эти связи полностью определяются величиной (давление p пропорционально s), и обнаружено, что величина не очень сильно меняется при изменении температуры. Она имеет одну и ту же величину для обоих экстремальных предельных случаев; для обоих случаев T->0 и T-> имеем =1.333. Имеется минимальное значение между этими предельными случаями температур, которое соответствует величине =1.270. Это наводит на мысль о том, что поправки, обусловленные влиянием электронных пар, не будут менять качественные аспекты наших ответов.

14.3. Некоторые численные результаты

Предварительные вычисления дали результаты, приведённые в таблице 14.1, для заданной величины при изменении только температуры в центре. В таблице приводятся значения температуры в центре t_c, радиуса r, массы звезды m и ”число нуклонов N”. Что же интересного можно сказать об этих величинах? Для того, чтобы понять, что происходит с заданной звездой, мы могли бы спросить, какая последовательность значений радиуса и центральной температуры соответствует одному и тому же числу нуклонов, если полная энергия на один нуклон падает. Мы ожидаем, что это может моделировать ситуацию в звезде, в которой излучение медленно уносит энергию. Числа в таблице не дают в достаточной степени полное представление, так чтобы мы могли быть в этом уверены, тем не менее, мы видим, что энергия на нуклон уменьшается при уменьшении температуры в центре; это есть действительно описание того, что звезда охлаждается, если она излучает энергию.

Будут ли такие звёзды самопроизвольно ”размазываться” по пространству? Устойчивость нашей звезды ещё не изучена. В рамках того же самого решения вычисления, которые приводят к одному и тому же числу нуклонов и одному и тому же значению , могут сравниваться как по значениям радиуса, так и по значениям температуры в центре. Факт, что очевидно имеется минимум значения r при значениях температуры в центре где-то между 0.4 и 1.0, заставляет задуматься; звезда может иметь устойчивое решение. Другой способ изучения устойчивости состоит в том, чтобы рассмотреть "взрывы”. Предположим, что мы вычисляем полную энергию числа N нуклонов с определённой энтропией на нуклон, т.е. определённым значением , и затем разламываем эти нуклоны на две звезды с одним и тем же значением , сохраняя сумму N постоянной. Можем ли мы получить работу из этого процесса или мы должны затратить работу для того, чтобы получить конфигурацию из двух звёзд? Предполагается, что величина является той же самой, поскольку считается, что всё вещество двигается вместе из одной и той же начальной конфигурации. Можем ли мы найти какую-нибудь информацию о таком процессе, основываясь на приводимых выше числах? Если N уменьшается, мы находим, что избыток массы увеличивается. Это означает, что два объекта с меньшими значениями N могут быть более массивными, поэтому требуется работа для того, чтобы разделить такую систему. Это наводит на мысль, что звезда может не выбрасывать вещество, а сохранять его в одном коме.