ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
Шрифт:
Выше я использовал слово «изоморфизм» в кавычках, чтобы показать, что его здесь надо понимать с долей скептицизма. Символические процессы, лежащие в основе человеческого языка, настолько неизмеримо сложнее символических процессов в формальных системах, что, если мы хотим по-прежнему считать, что значение — порождение изоморфизмов, то нам придется принять более гибкое определение изоморфизма, чем то, каким мы пользовались до сих пор. Мне кажется, что именно понимание природы изоморфизма, стоящего за значением, — ключ к загадке человеческого сознания.
Все это было подготовкой к обсуждению «Акростиконтрапунктуса» — исследованию уровней его значения. В Диалоге есть как явный, так и неявный смысл. Самое явное значение — та история, которая в нем рассказана.
И все же, я хотел бы сделать явное значение истории еще более явным. Сначала немного о пластинках и патефонах. Обратите внимание на то, что дорожки на пластинке имеют два уровня значения. Первый уровень — музыка. Но что же такое музыка — последовательность колебаний в воздухе или последовательность эмоциональных реакций в человеческом мозгу? И то и другое, скажете вы. Но для того, чтобы эти эмоции возникли, сначала необходимы колебания. Колебания «извлекаются» из звуковых дорожек при помощи патефона — относительно несложного устройства. На самом деле, вы можете сделать то же самое, ведя по дорожкам булавкой. После этого ухо превращает колебания в реакции слуховых нейронов мозга, которые, в свою очередь, трансформируют линейную последовательность вибраций в схему взаимодействующих эмоциональных откликов. Схема эта настолько сложна, что мне придется, вопреки желанию, воздержаться от ее обсуждения здесь. Так что давайте пока считать, что звуки в воздухе — это «Первый Уровень» значения звуковых дорожек. Что же является «Вторым Уровнем» их значения? Это та вибрация, которая возникает в патефоне. Поэтому Второй Уровень значения зависит от цепи двух изоморфизмов:
(1) изоморфизм между произвольным узором звуковых дорожек и колебаниями воздуха;
(2) изоморфизм между произвольными колебаниями воздуха и вибрацией патефона.
Эта цепь двух изоморфизмов изображена на рис. 20. Обратите внимание, что изоморфизм 1 порождает Первый Уровень значения. Второй Уровень значения — менее явный, чем Первый, поскольку он порожден двумя изоморфизмами. Именно Второй Уровень значения является виновником того, что патефон разбивается. Интересно то, что рождение Первого Уровня значения немедленно влечет за собой рождение Второго Уровня значения — один уровень невозможен без другого. Таким образом, именно неявное значение пластинки «атаковало» и разрушило патефон. Те же комментарии приложимы и к бокалу. Разница лишь в том, что здесь имеется еще один уровень изоморфизма — соответствие между музыкальными нотами и буквами алфавита — который мы будем называть «транскрипцией». За ней следует «перевод»: превращение музыкальных нот в звуки, после чего вибрация действует на бокал точно так же, как она действовала на серию все усложняющихся патефонов.
Рис. 20. Наглядное объяснение принципа, лежащего в основе Теоремы Геделя: два тесно связанных изоморфизма, дающие неожиданный эффект бумеранга. Первый — от звуковых дорожек к звуку, получаемый при помощи патефона. Другой — знакомый всем нам, но обычно оставляемый без внимания — от звука к вибрации патефона. Обратите внимание на то, что второй изоморфизм существует независимо от первого: не только музыка, играемая на патефоне, но и вообще все звуки вблизи от него вызывают в нем вибрацию. Перефразировка Теоремы Геделя звучит так: для любого патефона существуют такие пластинки, которые нельзя на нем проигрывать, так как это косвенно способствует разрушению патефона. (Рисунок автора.)
Что же можно сказать о неявных значениях Диалога? (Множественное число не случайно — в Диалоге их несколько.) О самом простом из них мы уже упомянули выше — события в двух частях Диалога приблизительно изоморфны: патефон становится скрипкой, Черепаха — Ахиллом, Краб — Черепахой,
звуковые дорожки — выгравированным автографом, и т. д. После того, как вы заметили этот простой изоморфизм, вы можете продвинуться дальше. Обратите внимание, что в первой половине истории Черепаха — виновник всех проказ, в то время как во второй половине она — жертва. Ее же собственный метод обратился против нее! Не напоминает ли это вам об «атаке» на патефон пластинок, которые на нем проигрывают, или о надписи на бокале, явившейся «виновницей» его гибели, или о Черепахиной коллекции бумерангов? Безусловно. Это — история о «плевках против ветра» на двух уровнях:Первый уровень: «самоатакующие» бокалы и пластинки;
Второй уровень: «самоатакующий» дьявольский метод Черепахи, использующий для «самоатаки» неявные значения.
Таким образом, мы можем установить изоморфизм между двумя уровнями истории, сравнив то, как пластинки и бокалы, подобно бумерангам, «замыкаются» сами на себя и в результате гибнут, с тем, как предательский метод Черепахи оборачивается против нее самой. Рассматриваемая таким образом, сама история — пример «самоатак», которые в ней обсуждаются. Поэтому мы можем считать, что «Акростиконтрапунктус» косвенно говорит о себе самом, в том смысле, что его структура изоморфна событиям, которые в нем происходят. (Совершенно так же, как пластинки и бокал косвенно «говорят» о себе самих путем соседствующих изоморфизмов между игрой и вызыванием вибрации.) Конечно, можно прочитать Диалог, не замечая этого изоморфизма; тем не менее, он там присутствует.
Читатель, возможно, уже чувствует некоторое головокружение — однако это еще только цветочки, а ягодки впереди. (На самом деле, некоторые уровни неявного значения даже не будут здесь затронуты — если пожелаете, можете попробовать докопаться до них сами.) Я написал этот Диалог в основном для того, чтобы проиллюстрировать Теорему Гёделя, которая, как я уже говорил во введении, зависит от двух различных уровней значения высказываний теории чисел. Каждая из двух половин Диалога — «изоморфная копия» Теоремы Гёделя. Поскольку это сложное соответствие — центральная идея диалога, я попытался представить его на следующей диаграмме.
патефон <==> система аксиом теории чисел
патефон низкого качества <==> «слабая» система аксиом
качественный патефон <==> «сильная» система аксиом
«совершенный» патефон <==> полная система для теории чисел
«схема устройства» патефона <==> аксиомы и правила формальной системы
пластинка <==> строчка формальной системы
«проигрываемая» пластинка <==> теоремы формальной системы
«непроигрываемая» пластинка <==> не-теоремы формальной системы
звук <==> истинное высказывание теории чисел
воспроизводимый звук <==> интерпретированная теорема системы
невоспроизводимый звук <==> истинное высказывание, не являющееся теоремой
название песий «Меня нельзя воспроизвести на патефоне X» <==> неявное значение строчки Геделя «Меня нельзя вывести в формальной системе X»
На этой диаграмме приводится основа изоморфизма между Теоремой Гёделя и «Акростиконтрапунктусом». Не волнуйтесь, если вы пока не вполне понимаете суть Теоремы Гёделя — мы дойдем до нее только через несколько глав! Однако, прочитав этот Диалог, вы уже до некоторой степени прониклись духом этой Теоремы, даже если это и произошло незаметно для вас самих. Теперь я оставляю вас, читатель, с тем, чтобы вы попытались найти другие типы неявных значений в «Акростиконтрапунктусе». «Quaerendo invenietis»
Несколько слов об «Искусстве фуги»… Написанное в последний год жизни Баха, оно состоит из восемнадцати фуг, основанных на одной и той же теме. По-видимому, создание «Музыкального приношения» вдохновило Баха еще на один цикл фуг, на этот раз с менее сложной исходной темой, где он решил показать все возможности этой формы. Простую тему «Искусства фуги» Бах обыгрывает множеством разных способов. Большинство фуг четырехголосные; их сложность и глубина выражения постепенно возрастают. Ближе к концу фуги достигают такой степени сложности, что кажется невероятным, что композитору удается поддерживать этот уровень. Однако это ему удается… до последнего «Контрапункта».