ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда

Как интерпретация может создать или разрушить полноту

Что означает выражение, употребленное мною выше, что «полнота — это максимальное подтверждение пассивных значений»? Оно означает, что если система непротиворечива, но не полна, то существует несоответствие между символами системы и их интерпретациями. Система недостаточно мощна, чтобы оправдать данную интерпретацию. Иногда, если интерпретации немного «подправить», система может стать полной. Для иллюстрации этой идеи давайте взглянем на модифицированную систему pr (включая схему аксиом II) и на выбранную нами интерпретацию.

Изменив систему pr, мы изменили также и интерпретацию символа r с «больше» на «больше или равняется». Мы нашли, что измененная система pr в такой интерпретации непротиворечива; однако в новой интерпретации есть что-то сомнительное. Проблема весьма проста: теперь имеется множество истинных утверждений, не являющихся теоремами. Например, «2 + 3 больше или равняется 1» выражено не-теоремой – -p---r-. Просто эта интерпретация слишком небрежна! Она не отражает того, что делают теоремы системы. В такой неряшливой интерпретации система pr неполна. Мы могли бы поправить дело одним из двух способов: (1) прибавив к системе новые правила и, таким образом, сделав ее более мощной и (2) заменив интерпретацию на более аккуратную. В данном случае, заменить интерпретацию кажется более разумной альтернативой. Вместо того, чтобы интерпретировать r как «больше или равняется», мы должны сказать «равняется или больше на 1». После такой модификации система pr становится как непротиворечивой, так и полной. И эта полнота подтверждает правильность нашей интерпретации.

Неполнота формализованной теории чисел

В теории чисел мы снова встретимся с неполнотой; но в этом случае, чтобы исправить ситуацию, нам придется пойти в другом направлении — сделать систему более мощной путем прибавления новых правил. Ирония здесь заключается в том, что каждый раз, когда мы прибавляем новое правило, мы думаем, что уж теперь-то система станет полной! Эта дилемма может быть проиллюстрирована с помощью следующей аллегории.

Представьте себе, что у вас есть патефон и пластинка, которой мы пока дадим пробное название «Канон на тему В-А-С-H». Однако, когда мы проигрываем запись на нашем патефоне, вибрации, производимые записью, создают сильные помехи, мешающие нам узнать мелодию. Следовательно, заключаем мы, что-то должно быть не в порядке — или пластинка, или наш патефон. Чтобы проверить качество пластинки, мы должны прослушать ее на патефоне товарища; а чтобы проверить качество патефона, нам придется проигрывать на нем пластинки товарища, и смотреть, соответствует ли музыка этикеткам на них. Если наш патефон выдержит экзамен, тогда мы заключим, что дефект был в пластинке; с другой стороны, если пластинка пройдет свое испытание, то мы решим, что дефект — в нашем патефоне. Однако каково будет наше заключение, если тест выдержат оба? Вспомните цепь двух изоморфизмов (рис. 20) и подумайте над ответом!

Маленький гармонический лабиринт

Черепаха и Ахилл проводят день в Кони Айленде, огромном парке аттракционов. Купив себе по палочке «сахарной ваты», они решают прокатиться на колесе обозрения.

Черепаха: Это мой любимый аттракцион. Кажется, что едешь так далеко — а на самом деле никуда не попадаешь!

Ахилл: Понятно, почему это вам так нравится. Вы уже пристегнулись?

Черепаха: Да, все ремни на месте. Поехали! Ур-ра!

Ахилл: Я вижу, вы сегодня предовольны.

Черепаха: И не без основания: моя тетушка-гадалка предсказала мне на сегодня необыкновенную удачу. Так что я вся трепещу в предвкушении.

Ахилл: Неужели вы верите в предсказания судьбы?

Черепаха: Вообще-то нет… но говорят, что они действуют, даже когда в них не веришь.

Ахилл: Ну, в таком случае, вам действительно повезло.

Черепаха: Ах, какой вид! Пляж, толпа, океан, город…

Ахилл: И правда, великолепно. Взгляните-ка на вертолет — вон там. Кажется, он летит в нашем направлении. На самом деле, он уже почти над нами.

Черепаха: Странно, оттуда свисает какая-то веревка… и она совсем близко к нам — можно ухватиться…

Ахилл: Смотрите-ка: на конце веревки огромный крюк и на нем — записка.

(Он протягивает руку и срывает записку. Колесо начинает опускаться.)

Черепаха: Ну как, что там написано? Можете разобрать?

Ахилл: Да… Здесь написано: «Приветик, друзья. Будете снова наверху — хватайтесь за крюк, и получите Сюрприз!»

Черепаха: Записка грубовата… но кто знает, к чему это может привести. Может, это начинается обещанное везенье. Давайте попробуем!

Ахилл: Давайте!

(Когда колесо снова начинает подниматься, они расстегивают свои ремни и на самой высокой точке хватаются за гигантский крюк. Внезапно веревка взлетает вверх, унося их к зависшему над их головами вертолету. Большая сильная рука втаскивает их внутрь.)

Голос: Добро пожаловать на борт, лопухи!

Ахилл: К-кто… кто вы такой?

Голос: Позвольте представиться: Гексахлорофен Ж. Удача, Знаменитый Похититель Детишек и Пожиратель Черепах — к вашим услугам!

Черепаха: Ой!

Ахилл (шепотом Черепахе): Вот так «Удача»! Не совсем то, на что мы надеялись… (Удаче): Гм-м-м… если я могу позволить себе смелость спросить куда вы нас везете?

Удача: Хо-хо! На мою небесную кухню с полным электрическим оборудованием, где я собираюсь приготовить вот этот лакомый кусочек (бросая плотоядный взгляд на Черепаху) — райский супчик получится, пальчики оближешь! И не сомневайтесь — я проделываю все это исключительно в усладу моему чревоугодию! Хо-хо-хо!

Ахилл: На это я могу сказать лишь то, что смех у вас довольно злодейский.

Удача (злодейски смеясь): Хо-хо-хо! За эти слова, мои дорогой друг, ты мне дорого заплатишь! Хо-хо!

Ахилл: Ах, господи! Интересно, что он имеет в виду?

Удача: Все очень просто: у меня для вас обоих уготовлена Ужасная Судьба! Погодите — вы у меня попляшете! Хо-хо- хо! Хо-хо-хо!

Ахилл: Ой, мамочка!…

Удача: Вот мы и приехали. Высаживайтесь, друзья, прямо в мою электрическую небесную кухню. (Они заходят внутрь.) Располагайтесь и чувствуйте себя как дома, пока я буду решать вашу судьбу. Вот моя спальня. Вот мой кабинет. Присаживайтесь и подождите меня — я ненадолго, только ножи наточу. Можете пока попробовать мои вина. Мое последнее приобретение — «Витаскин»; там что-то еще на этикетке понаписано, да только я языка не понимаю, так что я называю эту штуку просто: «Вытаскин». Вон та бутылочка, на лосьон смахивает… Я его еще сам не пробовал. Ну, я пошел. Хо-хо-хо! Черепаший супчик! Черепаший супчик! Мое любимое блюдо! (Уходит.)

Ахилл: Вытаскин! Давайте напьемся с горя!

Черепаха: Ахилл! Вы же уже выпили две кружки пива в парке! Да и как вы можете думать об этом в такой момент, именно когда нам необходима ясная голова?

Ахилл: А мне до лампочки… (Поет.) Шуме-ел камы-ы-ыш… о, миль пардон, я не должен петь подобных песен в присутствии дамы, да еще в такую ужасную минуту.

Черепаха: Боюсь, что наша песенка так и так спета.

Ахилл: Это еще бабушка надвое сказала. Давайте пока от нечего делать посмотрим, что за книги у нашего хозяина на полках. Ну и коллекция, только для посвященных: «Садовые головы, с которыми я был знаком», «Шахматы и верчение зонтиков — без труда», «Концерт для чечеточника и оркестра»… Гм-м-м.

Черепаха: Что это за открытая книжица лежит там на столе, рядом с додекаэдром и альбомом для рисования?

Ахилл: Эта? Она называется: «Занимательные приключения Ахилла и Черепахи или Вокруг света от кочки до кочки.»

Черепаха: Довольно занимательное название.

Ахилл: Действительно — и приключение, на котором книга открыта, выглядит занимательно. Оно называется «Джинн и Настойка».

Черепаха: Гм-м-м… Интересно, почему. Может, попробуем почитать? Я буду читать за Черепаху, а вы — за Ахилла.