ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда
Шрифт:
«Искусство фуги» (а также жизнь композитора) были прерваны следующими обстоятельствами: Бах, у которого в течение многих лет были проблемы со зрением, наконец решился на операцию. Операция прошла неудачно, и Бах ослеп. Однако это не остановило его от работы над монументальным проектом, целью которого было описание всех возможностей искусства полифонической композиции; одной из важных черт проекта было использование многих тем. В композицию, которая была задумана как предпоследняя, Бах включил собственное имя, закодированное в третьей теме. Однако сразу после этого его здоровье так ухудшилось, что работу над любимым проектом пришлось прекратить. Несмотря на болезнь, Баху удалось продиктовать своему зятю финальную хоральную прелюдию, о которой Форкель, биограф композитора, написал следующее: «Когда я исполняю эту прелюдию, я всегда бываю глубоко тронут духом набожного смирения и веры; не могу сказать, чего мне не хватало бы больше: этого Хорала, или окончания последней фуги.»
Незадолго до смерти к Баху неожиданно вернулось зрение.
Черепаха утверждает, что никакой достаточно мощный патефон не может быть совершенен — то есть способен воспроизвести любые звуки, записанные на пластинке. Гёдель утверждает, что никакая достаточно мощная формальная система не может быть совершенна — то есть способна представить любое истинное высказывание в виде теоремы. Так же, как и в случае с патефонами, это кажется дефектом только тогда, когда мы предъявляем слишком высокие требования к возможностям формальных систем. Однако для математиков начала столетия подобные завышенные требования были обычным делом; в то время во всемогуществе логических рассуждений никто не сомневался. Доказательство обратного было найдено в 1931 году. Тот факт, что в любой достаточно сложной формальной системе истинных утверждений больше, чем теорем, называется «неполнотой» этой системы. Удивительно то, что методы рассуждения, используемые Гёделем в его доказательстве, по-видимому, невозможно заключить в рамки формальных систем. С первого взгляда кажется, что Гёделю впервые удалось выразить необычайно глубокую и важную разницу между человеческой логикой и логикой машины. Это загадочное несоответствие между мощью живых и неживых систем отражено в несоответствии между понятием «истинности» и понятием «теоремности»; таков возможный романтический взгляд на эту ситуацию.
Чтобы взглянуть на ситуацию более реалистично, нам необходимо глубже понять, почему и каким образом смысл выражается в формальных системах при помощи изоморфизма. (Мне кажется, что на самом деле это приводит к еще более романтическому взгляду на вещи.) Итак, сейчас мы приступаем к изучению некоторых новых для нас аспектов отношения между значением и формой. Первым делом, давайте создадим новую формальную систему, чуть-чуть изменив нашу старую знакомую, систему пр. Добавим к ней еще одну схему аксиом, сохранив при этом как старую схему, так и единственное правило вывода.
СХЕМА АКСИОМ II: Если x является строчкой тире, то xp-rx будет аксиомой.
Ясно, что как – -p-r--, так и – -p-r--- будут теоремами новой системы. Однако они интерпретируются, соответственно, как «2 плюс 1 равняется 2» и «2 плюс 2 равняется 3». Легко увидеть, что такая система будет содержать массу ложных высказываний (если считать строчку высказыванием). Таким образом, наша новая система противоречива по отношению к окружающему миру.
Как говорится, беда не приходит одна, в новой системе есть также и внутренние проблемы. Она содержит высказывания, противоречащие друг другу, такие как – p-r-- (старая аксиома) и – p-r- (новая аксиома). Это означает, что наша система противоречива также и в другом смысле — внутренне.
Так что же, лучше совсем отказаться от новой системы?
Ни в коем случае! Я нарочно описал эти «противоречия» в «лапшевешательном» стиле, изложив довольно туманные аргументы с уверенностью, призванной запутать читателя. Вполне возможно, что вы уже заметили ошибки в моих рассуждениях. Основная ошибка состоит в том, что я безоговорочно принял для новой системы ту же интерпретацию, что была верна для прежней системы. Вспомните, что мы тогда остановились на словах «плюс» и «равняется» только потому, что в такой интерпретации символы действовали изоморфно понятиям, с которыми мы их сравнивали. Когда мы изменяем правила системы, этот изоморфизм неизбежно страдает. С этим ничего не поделаешь. Таким образом, проблемы, на которые я жаловался в предыдущих абзацах, могут рассеяться как дым, как только мы найдем подходящую интерпретацию для некоторых символов новой системы. Обратите внимание, что я сказал «некоторых» — совсем не обязательно в каждом случае менять интерпретацию всех символов. Некоторые из них могут сохранить прежнее значение, в то время как другие изменятся.
Предположим, например, что мы интерпретируем по-новому лишь символ r, оставляя все остальные символы без изменения; в частности, символ r будет означать «больше или равно». Теперь наши «противоречивые» теоремы – p-r- и – p-r-- звучат совершенно безобидно: «1 плюс 1 больше или равно 1» и «1 плюс 1 больше или равно 2». Мы одновременно избавились от противоречий (1) с окружающим миром и (2) внутри системы. К тому же, наша новая интерпретация значима,
в то время как прежняя не имела смысла. Я имею в виду, что она не имела смысла в новой системе — в нашей первоначальной системе pr она работала превосходно. Пытаться же использовать ее в новой системе так же глупо, как использовать интерпретацию «лошадь-яблоко-счастливая» в старой системе pr.Несмотря на мои попытки застать вас врасплох и сбить с толку, этот урок по интерпретации символов при помощи слов, возможно, не показался вам слишком трудным, как только вы поняли, в чем тут дело. Действительно, это несложно. Однако это было одним из глубочайших прозрений математики девятнадцатого века! Все началось с Эвклида, который около 300 года до нашей эры собрал и систематизировал все, что было известно о геометрии в то время. Получившийся труд оказался таким солидным, что в течение более чем двух тысячелетий он практически считался библией геометрии — одна из наиболее «долголетних» работ! Почему так получилось?
Основная причина в том, что Эвклид был основоположником строгости в математических рассуждениях. Его «Элементы» начинаются с простых понятий, определений и так далее; при этом постепенно накапливается множество результатов, организованных таким образом, что каждый данный результат строго основан на предыдущих. В результате, работа имела определенный план, архитектуру, делавшую ее мощной и прочной.
Однако эта архитектура весьма отличалась от, скажем, архитектуры небоскреба. (См. рис. 21.) В последнем случае, сам факт того, что небоскреб стоит и не падает, доказывает, что его структура «правильна». С другой стороны, в книге по геометрии, где предполагается, что каждое утверждение логически следует из предыдущих, одно ошибочное доказательство не вызовет видимого краха всей структуры. Перекладины и подпорки здесь не физические, а абстрактные. На самом деле, в Эвклидовых «Элементах» доказательства были построены из весьма капризного материала, полного скрытых ловушек. Этим материалом был человеческий язык. Как же в таком случае быть с архитектурной мощью «Элементов»? Верно ли, что они основаны на прочной структуре, или же в ней есть некие изъяны?
Рис. 21. М. К. Эшер «Вавилонская башня» (гравюра на дереве, 1928)
Каждое слово, которое мы произносим, имеет определенный смысл, диктующий нам, как это слово использовать. Чем обычнее слово, тем больше ассоциаций связано с ним и тем глубже укоренилось в нас его значение. Таким образом, когда кто-то пытается дать определение какому-либо употребительному слову, в надежде на то, что все мы с этим определением согласимся, обычно происходит следующее: вместо того, чтобы принять данное нам определение, мы, по большей части бессознательно, предпочитаем руководствоваться ассоциациями, хранящимися на «складе» нашего мозга. Я упоминаю об этом потому, что именно с такой проблемой столкнулся Эвклид, пытаясь дать определения таких обыденных слов как «точка», «прямая линия», «круг» и так далее. Как можно определить нечто, о чем у каждого уже есть вполне сформировавшаяся идея? Единственный способ заключается в том, чтобы указать, что ваше слово — технический термин, который не должно путать с обычным, повседневным словом. Необходимо подчеркнуть, что связь с обычным значением слова здесь лишь кажущаяся. Эвклид этого не сделал, так как он был убежден в том, что точки и прямые в его «Элементах» были, на самом деле, точками и прямыми реального мира. Эвклид не предостерег читателей от ложных ассоциаций, тем самым пригласив их к свободной игре воображения…
Это звучит почти анархично и, пожалуй, немного несправедливо по отношению к Эвклиду — ведь он установил аксиомы или постулаты, которые должны были использоваться при доказательстве утверждений. На самом деле, он считал, что доказательства должны были быть основаны исключительно на этих аксиомах и постулатах. К несчастью, именно здесь и случилась осечка! Неизбежным следствием использования ординарных слов явилось то, что некоторые вызванные этими словами ассоциации проникли и в Эвклидовы доказательства. Однако не думайте, что, читая «Элементы», вы найдете там зияющие «провалы» в рассуждениях. Напротив, ошибки там почти незаметны, поскольку Эвклид был слишком глубоким и проницательным мыслителем, чтобы допускать элементарные промахи. Тем не менее, в его рассуждениях все-таки есть «прорехи» — небольшие дефекты в классическом труде. Однако вместо того, чтобы жаловаться, мы можем выучить кое-что новое о разнице между абсолютной и относительной строгостью математических рассуждений. На самом деле, именно отсутствие абсолютной строгости в работе Эвклида явилось причиной многих плодотворных открытий в математике более чем через две тысячи лет после того, как он написал свой труд.
Эвклид привел пять постулатов, легших в фундамент бесконечного небоскреба геометрии (Эвклидовы «Элементы» составили лишь первые несколько сотен этажей этого небоскреба). Четыре первые постулата кратки и элегантны:
(1) Любые две точки могут быть соединены отрезком прямой;
(2) Любой отрезок прямой может быть продолжен бесконечно и превращен в прямую линию;
(3) На основе любого отрезка прямой можно нарисовать круг, принимая этот отрезок за радиус и один из его концов — за центр круга;