Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
132. Найдите ?ТОК, если О – центр окружности и ?ТЕК = 120° (рис. 190).(1)
Рис. 190.
Решение. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то
Ответ: 120°
133. Дан правильный 30-угольник А1А2 ... А30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОА3 и А1А4 (рис. 191). (2)
Рис. 191.
Решение.
Требуемый нам угол х является внешним углом к треугольнику А3А1В. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных, то х = 6° + 78° = 84°.
Ответ: 84°.
134. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ? (рис. 192). (3)
Рис. 192.
Решение. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то ?CAB = ?CDB = ?. Из равенств ?DCE + CDB = ?/2, ?КЕА + ?САВ = ?/2, следует, что ?DCE = ?КЕА = ?СЕМ. Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. е. СМ = ЕМ. Далее, ?MED = ?/2 – ?СЕМ = ?/2 – (?/2 – ?) = ?CDB.
Итак, треугольник EMD равнобедренный, или DM = ЕМ. Этим доказано, что СМ = DM или что ЕМ – медиана треугольника CED.
Из прямоугольного треугольника ABE находим
АЕ = АВ ? cos?ЕАВ = АВ ? cos?CAB = 4 ? cos ?.
Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем
и, наконец,
Ответ:
135. Окружности с центрами О и О1 касаются внутренним образом. Найдите угол В (рис. 193). (1)
Рис. 193.
136. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. (2)
137. а) Докажите, что
(рис. 194);
Рис. 194.
б) докажите, что
(рис. 195). (3)
Рис. 195.
138. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, AB = 1, ?ABD:?DBC = 4:3. (3)
2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196).
Рис. 196.
Для
обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD.В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.
139. Дано (рис. 197):
ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)
Рис. 197.
Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);
Ответ:
140. Стороны прямоугольника равны а и b. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)
Рис. 198.
Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;
Ответ:
141. ОА – касательная; ОВ = 4; ВС = 3. Найдите длину ОА (рис. 199). (1)
Рис. 199.
2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований
Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии. Это не случайно, ведь благодаря проведенной «лишней» линии, осуществленному повороту, построению симметричной фигуры или вспомогательной окружности даже очень сложная задача может решиться «в одну строчку». За примерами далеко ходить не надо.
142. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а, а, а и 2а (рис. 200). (1)
Рис. 200.
Решение. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника (см. рис.), но у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: Rокр = а. Длина окружности l = 2?Rокр = 2?а.
Ответ: 2?а.
143. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями (рис. 201). (2)
Рис. 201.
Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC ? BD ? sin 90° = 1/2 ? 12 ? 5 ? 1 = 30 см2.