Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

156. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка M – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны. (3)

157. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство:

2.11. Разные задачи

Примеры решения задач

158. Можно ли утверждать, что треугольники равны по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон? Ответ: обоснуйте (рис. 209). (1)

Рис. 209.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и А1В1C1. Пусть AB = A1B1, BC = B1C1,AM = A1M1 (см. рис). Так как ВС = В1С1, то ВМ = В1М1 ?АВМ = ?A1B1M1 (по трём сторонам), значит, ?В = ?B1. В этом случае ?ABC = ?A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: да.

159. Определите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2:1 (рис. 210). (1)

Рис. 210.

Решение. Нарисуем треугольник ABC, где ?ВАС = 3? = 90°. Медиана AD равна длинам BD и CD, так как D – середина гипотенузы, а, значит, является центром описанной около треугольника окружности. Пусть для определённости ?BAD = 2?, ?DAC =?. Очевидно, что 2? + ? = 90°, ? = 30°. Учитывая, что треугольники BDA и DAC – равнобедренные, получаем:?В = 2? = 60°, ?С = ? = 30°.

Ответ: 60°, 30°.

160. Дан произвольный четырёхугольник ABCD. Точки М, N, Р, Q – середины его сторон. Докажите, что MNPQ – параллелограмм (рис. 211). (1)

Рис. 211.

Решение. Из условия задачи и чертежа видно, что MN – средняя средняя линия ?ABC и QP средняя линия ?ACD. Поэтому MN = 1/2АС и MN||AC; QP = 1/2АС и QP||АС. В итоге получаем, что MN = QP и MN||QP. Поэтому, по признаку параллелограмма четырёхугольник MNPQ – параллелограмм.

161. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОВ и COD имеют одинаковые площади (рис. 212). (2)

Рис. 212.

Решение. Обозначим через h высоту трапеции. Запишем равенства:

162. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника. (3)

Решение. Пусть стороны а, b, с треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Будем считать, что а ? b ? с. тогда a = b – d, c = b + d, периметр Р = 2р = 3b.

Воспользуемся формулой r = S/P, получим r = 2S/3b. А так как S = 1/2bhb, то r = 1/3hb.

Задачи для самостоятельного решения

163. Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции? (1)

164. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. (1)

165. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы четырех углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (2)

166. Площадь четырёхугольника равна S. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника. (2)

167. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон. (2)

168. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. (1)

Глава 3 Билеты по геометрии

§ 1. Экзаменационный комплект № 1 (зачётная работа)

Билет № 1

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по стороне и двум углам.

3. Углы ADC и ABC вписаны в окружность, ?ABC = 74°. Найдите градусную меру ?ADC (рис. 213).

Рис. 213.

4. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам.

Билет № 2

1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

3. В треугольнике ABC отмечены точки D и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и АС = 44 см.

4. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Билет № 3

1. Третий признак равенства треугольников (формулировки и пример).

2. Теорема об углах, вписанных в окружность.

3. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см.

4. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

Билет № 4

1. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

2. Решение треугольника по трём сторонам.

3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны отрезки МК и KL?

4. Из одной точки к двум касающимися внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны.