Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

Билет № 5

1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найдите отрезок CD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.

4. Точки К и L – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части.

Билет № 6

1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Признак равнобедренного треугольника.

3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник MAN – равнобедренный.

4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

Билет № 7

1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

3. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок

пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Определите сторону параллелограмма AD, если FB = 4 см.

4. Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

Билет № 8

1. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

3. В треугольниках ADB и AFC: AD = DB, AF = FC. Докажите, что DB||FC (рис. 214).

Рис. 214.

4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB2+ CD2= BС2+ AD 2.

Билет № 9

1. Теорема синусов. Пример её применения для решения треугольников.

2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.

4. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Билет № 10

1. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

2. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.

3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (?С – прямой) проведена высота CD. Докажите, что если ?СВА = 30°, то АВ: BD = 4:3.

Билет № 11

1. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.

2. Умножение вектора на число. Свойства произведения вектора на число.

3. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около нее правильного четырёхугольника.

4. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

Билет № 12

1. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

2. Неравенство треугольника.

3. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

4. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

Билет № 13

1. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.

2. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).

3. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.

4. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру ?DOG, если ?DFG = 150° (рис. 215).

Рис. 215.

Билет № 14

1. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.

2. Теорема о средней линии треугольника.

3. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите стороны ромба.

4. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, а периметр равнобедренного – 40 см. Найдите стороны данных треугольников, если они имеют общее основание.

Билет № 15

1. Свойства параллелограмма (формулировки и примеры).

2. Теорема о внешнем угле треугольника.

3. В треугольнике AEF проведена биссектриса AD угла А, на сторонах угла от его вершины отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Билет № 16

1. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

2. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

3. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и BD – диаметры этих окружностей. Докажите, что ?АВО = ?CDO.

4. Один из углов равнобедренного треугольника 120°. Найдите отношение сторон этого треугольника.

Билет № 17

1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

2. Свойство диагоналей ромба.

3. BD – медиана равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС). Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр ?ABD равен 30 см.

4. Точки М, N и P лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC, причем MN||AC, NP||АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN: MN = 2:3.

Билет № 18

1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырёхугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).

2. Свойство диагоналей прямоугольника.

3. На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки R и P проведена прямая. Определите ?QRP, если ?RPQ = 67°.

4. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.