Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс

2. Координатные формулы движений.

3. Формула S = abc/4R для треугольника.

4. В треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен ?3. Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.

5. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

Билет № 20

1. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

2. Первая теорема косинусов для четырёхугольника.

3. Свойство средней линии треугольника и трапеции.

4. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника.

5. Средняя линия трапеции равна 4, отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1, углы при основании трапеции равны 40° и 50°. Найдите длины оснований трапеции.

Глава 4 Решения и ответы к задачам

§ 1. Решения и ответы к задачам § 1 главы 2

Задача 10 (рис. 220)

Рис. 220.

Решение. Пусть ВС = х, тогда AD = х – 4. Площадь треугольника ABC равна 1/2 ? ВС ? AD = 1/2 ? х ? (х – 4). По условию площадь равна 16. Значит, 1/2 ? х ? (х – 4) = 16, откуда х = 8. BС = 8, AD = BС – 4 = 4. По теореме Пифагора

Периметр треугольника равен PABC = AC + BC + AB = 5 + 8 + ?41 = 13 + ?41.

Ответ: 13 + ?41 см.

Задача 11

Решение. Запишем площадь треугольника тремя способами:

c другой стороны,

Аналогично

Задача 12 (рис. 221)

Рис. 221.

Решение. Пусть в треугольнике ABC АС = ?2. Проведем отрезок DE так, что площадь треугольника DBE равна площади трапеции ADEC. Так как нам нужно найти длину отрезка DE, обозначим ее через х. Введем еще обозначения: высоту треугольника DBE обозначим через h1 высоту трапеции ADEC через h2 Составим систему уравнений:

Первое уравнение фиксирует равенство площадей треугольника DBE и трапеции ADEC. Второе уравнение констатирует тот факт, что площадь треугольника ABC в 2 раза больше площади треугольника DBE, при этом использовано условие АС = ?2. Решая систему, получаем:

Ответ: 1.

Задача 13 (рис. 222)

Рис. 222.

Решение. Пусть в треугольнике ABC ВС = а, ?АВС = ?, ?АСВ = ?, длину АС обозначим через х. По теореме синусов:

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Ответ:

Задача 14 (рис. 223)

Рис. 223.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Так как медиана треугольника ABC – отрезок СЕ – всегда лежит внутри треугольника, то, чтобы точка пересечения отрезков СЕ и BD также лежала внутри треугольника ABC, необходимо, чтобы угол С был меньшим 90°. Обозначим через Р точку пересечения прямых BD и СЕ. Так как PD перпендикулярна АС, то расстояние от точки Р до стороны АС равно длине отрезка PD, т. е. равно 1 см. Проведём через точку Е прямую, параллельную основанию АС треугольника ABC. Пусть эта прямая пересекает высоту BD в точке К, а сторону ВС в точке F. Так как СЕ – медиана и прямая EF параллельна АС, то EF – средняя линяя треугольника ABC. Поэтому, в частности, прямая EF делит пополам высоту BD, т. е. KD = 1/2BD = 3 см. Теперь находим, что КР = KD – PD = 2 см. Треугольники ЕРК и DPC подобны, так как у них ?ЕРК = ?DPC, как величины вертикальных углов, ?РКЕ = ?PDC = 90°. Из подобия этих треугольников следует, что KP/PD = EP/PC. Так как PC = ЕС – ЕР, то это равенство можно записать в виде 2/1 = EP/(5 – EP), откуда получаем, что ЕР = 10/3 см. Из прямоугольного треугольника ЕКР находим, что

Так как ЕК средняя линия треугольника ABD, то AD = 2 ? ЕК 16/3 см. Из прямоугольного треугольника ADB находим

Ответ:

Задача 15 (рис. 224)

Рис. 224.

Решение. Обозначим длину отрезка АС через х. Из прямоугольного треугольника АЕС по теореме Пифагора находим

Поусловию BE: EС = 5:9, значит,

Площадь треугольника ABC равна 1/2 BD ? АС и одновременно 1/2 АЕ ? ВС, так что BD ? АС = АЕ ? ВС или

Последнее уравнение можно переписать в виде

Возведя последнее уравнение в квадрат, получим, что х2= 225, откуда х = 15, либо х = -15. Так как х – длина стороны, то х = 15. Следовательно, длина стороны АС равна 15.

Ответ: 15.

Задача 16 (рис. 225)

Рис. 225.

Решение. По теореме синусов ВС = 2Rsin ?ВАС = 2 ? 2 ? 1/2 = 2, где R – радиус описанной окружности. Так как АВ – хорда, то её длина не больше диаметра, т. е. АВ ? 2R = 4. Покажем, что АВ < 4. Если АВ = 4, то ?АСВ = ?/2 и должно выполняться равенство АВ2= АС2+ ВС2. Но оно не выполняется, так как 42? З2+ 22. Значит, АВ < 4. Тогда

Требуемое утверждение доказано.

Задача 17 (рис. 226)

Рис. 226.

Решение. Пусть ВК и AD – медианы, проведенные соответственно к сторонам АС и ВС. Обозначим через Е точку их пересечения. Так как точка К – середина стороны АС и точка D – середина стороны ВС, то отрезок KD – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, АВ = 2 ? KD. Так как по условию задачи ВК и AD перпендикулярны, то треугольники АЕК, KED, BED, АЕВ прямоугольные. Применяя теорему Пифагора к этим треугольникам, имеем: