Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс
Шрифт:
4. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.
5. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить
Билет № 11
1. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл.
2. Использование теорем синусов и косинусов для решения треугольников.
3. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата.
4. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках О1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M1M2 к длине отрезка О1O2 равно
Вычислить длину отрезка М1М2.
5. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.
Билет № 12
1. Признаки и свойства параллелограмма.
2. Формула Эйлера о расстоянии между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
3. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Основные тригонометрические тождества.
4. В треугольниках ABC и А1В1С1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение?
5. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4.
Билет № 13
1. Аксиоматический подход в геометрии. Требования к системе аксиом. Аксиоматическая теория.
2. Теорема синусов. Формула 2R = a/sin ?.
3. Вписанные в окружность углы. Соотношение между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу.
4. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3.
5. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника.
Билет № 14
1. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.
2. Длина медианы треугольника.
3. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между
прямыми.4. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.
5. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что AM = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти АВ, ?АМВ и ?ВМС.
Билет № 15
1. Теорема Пифагора. Египетский треугольник.
2. Длина биссектрисы треугольника.
3. Понятие площади фигуры. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.
4. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: РА2+ РВ2+ PC2? 1/3(АВ2+ ВС2+ СА2).
5. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата.
Билет № 16
1. Формула расстояния от точки А(х0, у0) до прямой ах + by + с = 0.
2. Значения sin, cos, tg, ctg от углов 30°, 45° и 60°.
3. Докажите, что если треугольники подобны, то с тем же коэффициентом пропорциональны произвольные соответствующие линейные элементы этих треугольников.
4. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, ?ВАС = ?/6 и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.
5. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удалённой от нее вершины прямоугольника.
Билет № 17
1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками.
2. Теорема косинусов. Связь теоремы косинусов и теоремы Пифагора.
3. Площадь четырёхугольника, правильного n-угольника.
4. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна b, длина стороны ВС равна а. Найти длину стороны АВ.
5. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки.
Билет № 18
1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности.
2. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису.
3. Формула S = рr для треугольника.
4. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади.
5. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки М и Т, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2. Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.
Билет № 19
1. Касательная к окружности, её свойство. Виды касания окружностей.