Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Амплитуда вероятности. Вероятность попадания электрона в точку x, если открыты оба отверстия, не равна сумме вероятностей попадания, когда открыты только первое или только второе отверстие. В действительности кривая P(x) нам хорошо знакома, поскольку она точно совпадает с распределением интенсивности при интерференции волн, которые, распространяясь от источника S, проходят через оба отверстия и падают на экран C (фиг. 1.3). Амплитуды волн удобнее всего изображать комплексными числами. Заметив это, мы можем сформулировать правило для определения P(x) в строгой математической форме: P(x) представляет собой квадрат модуля некоторой комплексной величины (x), которую мы назовём амплитудой вероятности попасть в точку x (если учитывается спин электрона, то это гиперкомплексная величина). Далее, (x) равна сумме двух вкладов: амплитуды 1 попадания в
в) существуют комплексные числа 1 и 2, такие, что
P=|^2|,
(1.1)
=
1
+
2
(1.2)
и
P
1
=|
1
|^2, P
2
=|
2
|^2
(1.3)
В последующих главах мы подробно рассмотрим конкретное вычисление 1 и 2. Сейчас же мы только укажем, что, например, амплитуду 1 можно найти как решение волнового уравнения, описывающего распространение волн от источника S до точки 1 и из точки 1 в точку x. В этом находят своё отражение волновые свойства электронов (или фотонов в случае света).
Подведём итог: мы вычисляем интенсивность (т.е. квадрат модуля амплитуды) волн, которые достигли бы прибора, расположенного в точке x, а затем интерпретируем эту интенсивность как вероятность того, что частица попадёт в точку x.
Логические затруднения. Характерно, что такое смешение понятий волны и частицы не ведёт к противоречиям. Однако так будет лишь при условии, что все утверждения относительно экспериментальной ситуации делаются с большой осторожностью.
Чтобы обсудить этот вопрос более подробно, рассмотрим сначала ситуацию, которая возникает из-за того, что в общем случае равенство P=P1+P2 несправедливо, как это подразумевает наше новое правило сложения вероятностей. Мы вынуждены признать: когда открыты оба отверстия, неправильно считать, что частица проходит только через одно или другое отверстие. В противном случае мы могли бы разбить все попадания частицы в точку x на два различных класса: попадания через отверстие 1 и попадания через отверстие 2 но тогда частота попаданий P в точку x неизбежно была бы суммой P1 (частоты попаданий через отверстие 1) и P2 (частоты попаданий через отверстие 2).
Чтобы избавить себя от логических затруднений, которые вносит этот пугающий вывод, можно было бы прибегнуть к разным ухищрениям. Мы могли бы предположить, например, что электрон движется каким-то весьма запутанным образом по некоей сложной траектории, проходя через отверстие 1, возвращаясь потом назад через отверстие 2 и выходя снова через отверстие 1. Или, может быть, электрон как-то размазывается и проходит через оба отверстия по частям так, чтобы в конечном итоге получился интерференционный результат в). Возможно также, что вероятность P1, была найдена неточно вследствие того, что закрытие отверстия 2 могло бы повлиять на движение вблизи отверстия 1. Чтобы объяснить полученную картину, предлагалось много подобных классических механизмов. Однако если поставить такой же опыт с фотонами (а результат при этом будет тот же), то две интерферирующие траектории можно расположить на расстоянии многих сантиметров друг от друга, так что движения по ним почти наверняка должны быть независимы. Реальная ситуация намного сложнее, чем это можно было бы предположить вначале; это показывает следующий эксперимент.
Влияние наблюдения. Мы сделали вполне логичный вывод: поскольку P/=P1+P2, никак нельзя предполагать, что электрон проходит либо только через первое отверстие, либо только через второе. Однако легко придумать
опыт для прямой проверки нашего вывода. Просто мы должны поместить за отверстиями источник света и проследить, через какое отверстие пройдёт электрон (фиг. 1.4). Поскольку электроны рассеивают свет и если рассеяние происходит позади отверстия 1, то можно сделать вывод, что электрон прошёл именно через это отверстие; если же свет рассеивается за отверстием 2, то электрон прошёл через него.
Фиг. 1.4. Видоизменение эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.
За экраном B мы помещаем осветитель L и наблюдаем рассеяние света на электронах, проходящих через отверстие 1 или через отверстие 2. При сильном источнике света действительно оказывается, что каждый электрон проходит только через одно из двух отверстий. Однако вероятность попадания в точку x при этом не описывается кривой a на фиг. 1.2, а имеет вид кривой d.
Результат этого эксперимента должен недвусмысленно показать, что электрон действительно проходит либо через первое, либо через второе отверстие, т.е. на каждом электроне, который попадает на экран C (предполагается, что интенсивность света достаточна для того, чтобы мы не перестали видеть электрон), рассеяние света происходит либо позади отверстия 1, либо позади отверстия 2 и никогда не происходит (если источник S очень слабый) в обоих местах сразу (более тонкий эксперимент мог бы даже показать, что заряд проходит либо только через одно отверстие, либо только через другое и что во всех случаях это полный заряд электрона, а не часть его).
А теперь возникает парадокс. Действительно, предположим, что мы объединяем два эксперимента. Будем следить, через какое отверстие проходит электрон, и в то же время определять вероятность того, что он попадёт в точку x. Тогда о каждом электроне, попадавшем в точку x, мы можем сказать, основываясь на эксперименте, пришёл он через отверстие 1 или через отверстие 2. Сперва мы можем проверить, что вероятность даётся кривой b. Если из всех попадающих в точку x электронов отобрать только те, которые приходят через отверстие 1, то мы убедимся, что их распределение действительно очень близко к кривой b (этот результат получается независимо от того, открыто или закрыто отверстие 2, и нам ясно, что это обстоятельство никак не влияет на движение вблизи отверстия 1). Если же отобрать электроны, проходившие, как мы видели, сквозь отверстие 2, то получим кривую P2, очень близкую к кривой C на фиг. 1.2. Но тогда каждый электрон появляется только в одном из двух отверстий, и мы можем разделить все электроны на два различных класса. Следовательно, если объединить теперь оба эти класса, то мы должны получить распределение P=P1+P2 (кривая d на фиг. 1.2) и притом получить это экспериментально. Теперь интерференционные эффекты в эксперименте почему-то не проявляются.
Что же изменилось? Когда мы следим за электронами, чтобы установить, через какое отверстие они проходят, то получаем результат P=P1+P2. Если же не следим за ними, получаем другой результат:
P=|
1
+
2
|^2/=P
1
+P
2
.
Как видно, следя за движением электронов, мы изменили вероятность того, что они попадут в точку x. Как это могло произойти? Впрочем, для наблюдения за электронами мы использовали свет; видимо, он при столкновении с электронами изменяет их движение, или, точнее, изменяет вероятность их попадания в точку x.
Нельзя ли ослабить интенсивность света в надежде уменьшить таким образом его воздействие? Незначительное возмущение, разумеется, не сможет вызвать конечное изменение распределения. Однако слабый свет вовсе не означает более слабого воздействия. Свет состоит из фотонов с энергией h и импульсом h/ (где — частота и , — длина волны). Ослабить свет — значит просто уменьшить количество фотонов, так что мы могли бы вообще перестать видеть электрон, но если мы его все же видим, то это означает, что фотон рассеялся как целое и электрону передан конечный импульс порядка h/.