Квантовая механика и интегралы по траекториям

Электроны, которые мы не видим, распределяются в соответствии с правилом интерференции а, тогда как замеченные нами и, следовательно, рассеявшие фотон попадают в точку x с вероятностью P=P₁+P₂. Поэтому суммарное распределение представляет собой среднее взвешенное распределений а и d. В случае большой интенсивности света, когда рассеяние происходит почти на всех электронах, оно близко к распределению d; в случае же очень малой интенсивности, когда лишь незначительное число электронов рассеивает свет, оно становится более похожим на распределение a.

Могло бы показаться, что, поскольку свет передаёт импульс h/, можно было бы все же попытаться ослабить этот эффект, применяя свет с большей длиной волны. Однако всему есть предел. Если длина волны очень велика, мы не сможем определить, где рассеялся свет: за отверстием 1 или за отверстием 2, поскольку источник света с длиной волны нельзя локализовать в пространстве с точностью, превышающей .

Таким образом, во избежание парадокса любое физическое вмешательство, имеющее целью определить, через какое отверстие проходит электрон, должно исказить опыт и превратить распределение а в d.

Впервые это заметил Гейзенберг; он сформулировал свой принцип неопределённости, гласящий, что самосогласованность новой механики требует ограничения точности, с которой могут быть выполнены эксперименты. В нашем случае это означает, что любая попытка сконструировать прибор, определяющий то отверстие, через которое прошёл электрон, и при этом настолько «деликатный», чтобы не вызвать нарушения интерференционной картины, обречена на неудачу. Внутренняя согласованность квантовой механики требует общности этого утверждения; оно обязано охватывать все физические средства, которые можно было бы применить для уточнения траектории электрона. Мир не может быть наполовину квантовомеханическим, наполовину классическим.

Никаких исключений из принципа неопределённости до сих пор не обнаружено.

§ 2. Принцип неопределённости

Мы сформулируем принцип неопределённости следующим образом: если в процессе выбора из альтернативных ситуаций удаётся проследить более чем за одной из них, то интерференция между этими альтернативами становится невозможной. Первоначальная формулировка принципа, данная самим Гейзенбергом, отличалась от нашей, и мы несколько задержимся, чтобы обсудить исходную гейзенберговскую формулировку.

В классической физике частицу можно считать движущейся по определённой траектории и приписывать ей в каждый момент времени определённые положение и скорость. Такое описание не привело бы к тем необычайным результатам, которые, как мы видели, характерны для квантовой механики. Принцип Гейзенберга ограничивает применимость подобного классического описания. Например, имеет свои пределы представление о том, что частица 'занимает определённое положение и обладает определённым импульсом. Реальная система (т.е. система, подчиняющаяся квантовой механике) представляет собой, если смотреть на неё с классической точки зрения, систему, в которой положение и импульс не определены. Тщательным измерением можно уменьшить неопределённость положения, а в других опытах можно было бы точнее определить импульс. Однако, как утверждает принцип Гейзенберга, нельзя точно измерить обе эти величины одновременно; в любом эксперименте произведение неопределённостей импульса и координаты не может быть меньше некоторой величины порядка h^*). Аналогичное условие требуется и для физической согласованности ситуации, которую мы обсуждали выше. Это можно показать, рассмотрев ещё одну попытку определения, через какое именно отверстие проходит электрон.

^* h=h/2=1,054•10^{– 27} эрг/см, где h — постоянная Планка.

Пример. Если электрон, проходя через одно из отверстий, отклоняется, то вертикальная составляющая его импульса изменяется. Кроме того, электрон, попадающий в детектор x после прохождения отверстия 1, отклоняется на иной угол (а потому и импульс его претерпевает иное изменение), нежели электрон, попадающий в точку x через отверстие 2. Предположим, что экран B не закреплён жёстко, а может свободно передвигаться вверх и вниз (фиг. 1.5). Любое изменение вертикальной составляющей импульса электрона в момент его прохождения через отверстие будет сопровождаться равным и противоположным по знаку изменением импульса экрана, которое можно найти, измеряя скорость экрана до и после прохождения электрона. Обозначим через p разность между изменениями импульсов электронов, проходящих через отверстия 1 и 2. Тогда для однозначного выяснения того, через какое отверстие прошёл электрон, требуется определить импульс экрана с точностью, превышающей p.

Фиг. 1.5. Ещё одна модификация эксперимента, изображённого на фиг. 1.1.

Экран B может свободно передвигаться в вертикальном направлении. Если электрон проходит отверстие 2 и попадает в детектор (например, в точке x = 0), то он отклонится вверх, а экран x получит отдачу вниз. Определяя, куда откатывается покоившийся вначале экран, можно установить отверстие, через которое проходит электрон. Однако, согласно принципу неопределённости Гейзенберга, такие прецизионные измерения импульса экрана x были бы несовместимы с точным знанием его вертикального положения, поэтому мы не могли бы быть уверены, что линия, соединяющая центры двух отверстий, установлена правильно. Вместо кривой a на фиг. 1.2 мы получим распределение, несколько размазанное в вертикальном направлении, похожее на кривую d фиг. 1.2.

Если в эксперименте импульс экрана B можно измерить с требуемой точностью, то мы тем самым определяем, через какое отверстие прошёл электрон, и распределение вероятностей приобретает вид кривой d на фиг. 1.2. Интерференционная картина (а), очевидно, исчезает. Как это может произойти? Чтобы понять это, заметим, что при построении кривой, описывающей распределение электронов в плоскости экрана C, необходимо точно знать вертикальное положение двух отверстий на экране B. Поэтому мы должны измерить не только импульс экрана B, но и его координату. Для возникновения интерференционной картины (кривая а на фиг. 1.2) положение экрана должно быть известно с точностью, превышающей d/2, где d — расстояние между соседними максимумами кривой. Теперь предположим, что мы не знаем вертикальное положение экрана с такой точностью; тогда положение кривой а на фиг. 1.2 нельзя определить с точностью, большей чем d/2, поскольку за начало отсчёта вертикальной шкалы необходимо принять некоторую фиксированную точку на экране B. При этом значение вероятности P для любого x должно отыскиваться усреднением по всем её значениям внутри окрестности размером d/2 вокруг точки x; в процессе такого усреднения интерференционная картина, очевидно, размажется и результирующая кривая не будет отличаться от кривой d на фиг. 1.2.

Фиг. 1.6. Аналогичный эксперимент со светом.

Два луча света, находящиеся в одинаковых фазах в точках 1 и 2, будут усиливать друг друга при попадании па экран C, если они проходят расстояние между экранами B и C за одинаковое время. Это означает, что максимум в дифракционной картине, возникающий при прохождении лучей света через два отверстия, будет находиться в центре экрана. Следующий максимум будет расположен ниже центра экрана настолько, чтобы достигающий этой точки луч из отверстия 1 проходил путь точно на одну длину волны больший, чем луч из отверстия 2.

Интерференция в эксперименте — признак волнового поведения электронов. Поскольку картина та же, что и в случае любого волнового движения, мы можем воспользоваться хорошо известным в теории дифракции света соотношением, которое связывает расстояние а между отверстиями, расстояние l от экрана B до плоскости C, длину волны света и расстояние между максимумами d:

a

l

=

d

(1.4)

(фиг. 1.6). В гл. 3 мы покажем, что длина волны электрона неразрывно связана с его импульсом соотношением

p=

h

.

(1.5)

Если p — полный импульс электрона (а мы предполагаем, что все пролетающие электроны имеют одинаковый полный импульс), то из фиг. 1.7 видно, что в случае l >> a

p

p

a

l

.

(1.6)

Отсюда следует, что