Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

6.1. Основные операции линейной алгебры

6.1.1. Основные определения линейной алгебры

Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple в решении задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней.

Матрица (m×n) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).

Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n. Пример квадратной матрицы размера 3×3:

Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:

где M₁^<j>— определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.

Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.

Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размера 4×4:

Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы transpose(A)∙А, где transpose(A) — транспонированная матрица А (см. ее определение ниже).

Транспонированная матрица — матрица, у которой столбцы и строки меняются местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию A^T(i,j)=A(j,i). Приведем простой пример.

Исходная матрица:

Транспонированная матрица:

Обратная матрица — это матрица М^{– 1}, которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.

Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.

Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А_i,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:

Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b и f). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, поддиагонали и наддиагонали, равны нулю, называется ленточной.

Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.

След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы.

Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М⁰=Е, М¹=М, М²=ММ, …, Мⁿ=М^n-1М.

Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р²=Р.

Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А^т=А.

Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А^т=-А.

Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А^т=А^{– 1}.

Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.

Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.

Комплексно-сопряженная матрица — матрица Ā, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.

Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию Ā=А^т.

Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х∈Vⁿ, х≠0, удовлетворяющий уравнению Ах=γх, где γ — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.

Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А– γЕ|.

Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.

Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа.

Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина.

Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||).