Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• метод обратной подстановки (method='subs').

Решение с применением обращения матрицы коэффициентов левой части системы уравнений А уже не раз рассматривалось и вполне очевидно. В связи с этим отметим особенности решения систем линейных уравнений другими методами. Любопытно отметить, что указание метода может быть сделано и без его заключения в одинарные кавычки.

6.3.4. Решение системы линейных уравнений методом LU-декомпозиции

Зададим матрицу А левой части системы уравнений и вектор свободных членов В:

> restart; with(LinearAlgebra): UseHardwareFloats := false:
> A:=<<4|.24|-.08>,<.09|3|-.15>,<.041-.08|4>>; B:=<8, 9, 20>;

Прямое решение этим методом выполняется одной из двух команд, отличающихся формой записи:

> х := LinearSolve(А, В, method= 'LU');
х := LinearSolve(<А|B>, method='LU');

Проверим решение данной системы уравнений:

> А.х-В;

В данном случае решение точно (в пределах точности вычислений по умолчанию).

Можно также выполнить решение проведя отдельно LU-декомпозицию, что делает наглядным алгоритм решения и операции подстановки:

> P,L,U:=LUDecomposition(A);

> V2:=Transpose(Р).В;

> V3:=ForwardSubstitute(L,V2);

> x:=BackwardSubstitute(U,V3);

> A.x-B;

6.3.5. Решение системы линейных уравнений методом QR-декомпозиции

Выполним теперь решение для тех же исходных данных методом QR-декомпозиции, обозначив метод в функции LinearSolve:

> х := LinearSolve(А, В, method='QR');

> A.x-B;

Другой, более явный, но и более громоздкий метод решения представлен ниже:

> Q,R := QRDecomposition(А);

> V2:=Transpose(Q).B;

> x:=BackwardSubstitute(R,V2);

> A.x-B;

Тут, пожалуй, любопытно, что погрешность вычислений оказалась несколько выше, чем при использовании функции LinearSolve. Однако погрешность не выходит за рамки допустимой по умолчанию.

6.3.6. Решение системы линейных уравнений методом декомпозиции Холесски

Выполним решение еще и методом декомпозиции Холесски:

> x:=LinearSolve(А, В, method='Cholesky');

Приведем еще один пример решения системы из четырех линейных уравнений с применением метода декомпозиции Холесски:

> M_temp := Matrix(4, (i,j)->i+i*j-7, shape=triangular[lower]);
M :=M_temp.Transpose(M_temp);
IsMatrixShape(M, symmetric); IsDefinite(M);

> V := <6,1,3,-2>;

> x:=LinearSolve(M, V, method='Cholesky');

> M.x-V;

> M:=Matrix(3, (i,j)->i+2*j-8, shape=triangular[lower]); V:=<7,8,1>;

> x := ForwardSubstitute(M, V);
x := LinearSolve(M, V);

6.3.7. Одновременное решение нескольких систем уравнений

Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы:

> М:=Matrix([[1.,3],[4,5]],datatype=float);
V1:=<1.,2>;
V2:=<7,-11>;
V3:=<-34,-67>;

> LinearSolve(М,<V1|V2|V3>);

> М: =Matrix([[1.,3],[4,5]],datatype=float);
ipiv, M := LUDecomposition(M,output=['NAG'], inplace);
LinearSolve([ipiv, M], <V1|V2|V3>);

Ha этом мы завершаем обзор пакета LinearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться с множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple и в файле демонстрационных примеров LE_Linear_Solve.mws. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики.

6.4. Интеграция Maple с MATLAB

6.4.1. Краткие сведения о MATLAB

Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее. В области линейной алгебры к таким системам, безусловно, относится система MATLAB [10, 28–34), созданная компанией MathWorks, Inc. Ее название происходит именно от слов MATrix LABoratory — матричная лаборатория.

MATLAB содержит в своем ядре многие сотни матричных функций и является одной из лучших матричных систем для персональных компьютеров. Она реализует самые современные алгоритмы матричных операций, включая, кстати, и алгоритмы NAG. Однако главное достоинство MATLAB — наличие множества дополнительных пакетов как по классическим разделам математики, так и по самым новейшим, таким как нечеткая логика, нейронные сети, идентификация систем, обработка сигналов и др. Знаменитым стал пакет моделирования систем и устройств Simulink, включаемый в пакет поставки системы MATLAB. Последней версией системы является MATLAB 7 SP2.