Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

[a, 2, b, 4]^V

> evalm(a*V);

[a², 2 a, a b, 4 a]

В этих примерах используется функция evalm(M), осуществляющая вычисление матрицы или вектора М.

6.1.7. Операции над матрицами с численными элементами

Над матрицами с численными элементами в Maple можно выполнять разнообразные операции. Ниже приведены основные из них:

> М:=array(1..2,1..2,[[1,2],[3,4]]);

> evalm(2*М);

> evalm(2+М);

> evalm(M^2);

> evalm(М^(-1));

> evalm(М-М);

0

> evalm(М+М);

> evalm(М*М);

> evalm(M/M);

1

> evalm(M^0);

1

Рекомендуется внимательно изучить эти примеры и попробовать свои силы в реализации простых матричных операций.

6.1.8. Символьные операции с матрицами

Одной из привлекательных возможностей СКА является возможность проведения символьных операций с матрицами. Ниже представлены примеры символьных операций, осуществляемых над квадратными матрицами одного размера в системе Maple:

> M1:=array(1..2,1..2, [[a1,b1], [c1,d1]]);

> M2:=array(1..2,1..2,[[a2,b2],[c2,d2]]);

> evalm(M1+M2)

> evalm(M1-M2)

> evalm(Ml&*M2);

> evalm(M1/М2);

> evalm(M1&/М2);

Приведем еще ряд гримеров выполнения символьных операций с одной матрицей:

> evalm(M1^2);

> evalm(sin(M1));

> evalm(M1*z);

> evalm(M1/z);

> evalm(M1+z);

> evalm(M1-z);

Среди других функций для работы с матрицами полезно обратить внимание на функцию map, которая применяет заданную операцию (например, функции дифференцирования diff и интегрирования int) к каждому элементу матрицы. Примеры такого рода даны ниже:

> M:=array(1..2,1..2,[[х,х^2],[х^3,х^4]]);

> map(diff,M, x);

> map(int, %, x);

> map(sin, M);

В результате возвращаются матрицы, каждый элемент которых представлен производной или интегралом. Аналогично можно выполнять над матрицами и другие достаточно сложные преобразования.

В дальнейшем мы продолжим изучение матричных функций и операций, включенных в пакеты Maple.

6.2. Пакет линейной алгебры linalg системы

6.2.1. Состав пакета linalg

Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4–5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и трудно обозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.

Поэтому разработчики Maple были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т.д. Решение задач линейной алгебры в численном виде можно рассматривать как одну из форм визуализации результатов вычислений, относящихся к линейной алгебре.

В ядро Maple, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры linalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Для их просмотра достаточно использовать команду:

> with(linalg);

Для большинства пользователей системой Maple набор функций пакета оказывается чрезмерно обширным и потому опущен. Укажем, однако, наиболее употребительные функции пакета linalg:

• addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;

• addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;

• angle — вычисляет угол между векторами;

• augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;

• backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);

• band — создает ленточную матрицу;

• basis — находит базис векторного пространства;

• bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов;

• BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;

• blockmatrix — создает блок-матрицу;

• cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;

• charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) матрица, вычисляемая как v∙E-М);

• charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;

• colspace — вычисляет базис пространства столбцов;

• colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;

• companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;

• cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M)∙norm(M^{– l}));

• curl — вычисляет ротор вектора;

• definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;