Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

• DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;

• DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;

• Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;

• PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;

• PDEplot — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных;

• autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;

• convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;

• convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;

• dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;

• indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;

• phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;

• reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;

• regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;

• translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;

• untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;

• varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 9.

7.4.2. Консультант по дифференциальным уравнениям

Для выявления свойств дифференциальных уравнений в Maple 9.5 в составе пакета DEtools имеется консультант (адвизор), вводимый следующей функцией:

odeadvisor(ODE) odeadvisor(ODE, y(х), [type1, type2,...], help)

Здесь ODE — одиночное дифференциальное уравнение, y(x) — неопределенная (определяемая функция), type1, type2, … — опционально заданные множество типов, которые классифицируются и help — опционально заданное указание на вывод страницы справки по методу решения.

Примеры работы с классификатором представлены ниже:

> with(DEtools): ODE := x*diff(y(х),х)+а*y(х)+b*х^2;

> odeadvisor(ODE);

 [_linear]

> ОDE1 := x*diff(y(х)^2,х)+а*y(х)+b*х^2;

> odeadvisor(ODE1);

[ rational, [_Abel, 2nd type, class В]]

> ODE2 := diff(y(x),x,x,x)+D(g)(y(x))*diff(y(x),x)^3 + 2*g(y(x))*diff(y(x),x) *diff(y(x), x, x)
 + diff(f(x),x)*diff(y(x),x) + f(x)*diff(y(x),x,x) = 0;

> odeadvisor(ODE2,у(x));

[[_3rd_order, exact, _nonlinear], [_3rd order, reducible, _mu_y2]]

7.4.3. Основные функции пакета DEtools

Рассмотрим наиболее важные функции этого пакета. Функция

autonomous(des,vars,ivar)

тестирует дифференциальное уравнение (или систему) des. Ее параметрами, помимо des, являются независимая переменная ivar и зависимая переменная dvar. Следующие примеры поясняют применение этой функции:

> autonomous(sin(z(t)-z(t)^2)*(D@@4)(z)(t)-cos(z(t))-5,z,t);

true

> DE:=diff(x(s),s)-x(s)*cos(arctan(x(s)))=arctan(s):
> autonomous(DE,{x},s);

false

Ниже описание этой функции будет продолжено. Функция Dchangevar используется для обеспечения замен (подстановок) в дифференциальных уравнениях:

Dchangevar(trans, deqns, с_ivar, n_ivar)
Dchangevar(tran1, tran2, ..., tranN, deqns, с_ivar, n_ivar)

В первом случае trans — список или множество уравнений, которые подставляются в дифференциальное уравнение, список или множество дифференциальных уравнений deqns. При этом civar — имя текущей переменной, n_ivar — имя новой переменной (его задавать необязательно). Во второй форме для подстановки используются уравнения tran1, tran2, …

Ниже представлены примеры применения функции Dchangevar

# Преобразование 1-го типа
> Dchangevar(m(х) = l(х)*sin(x), n(x)=k(x), [D(m)(x)=m(x), (D@@2)(n)(x)=n(x)^2], x);

[D(l)(x)sin(x) + l(x)cos(x) = l(x)sin(x), (D⁽²⁾)(k)(x) = k(x)²

> Dchangevar(c=d, е=sin(f) , {D(с), (D@@2)(e)}, dummy);

[D(d), (D⁽²⁾)(sin(f))]

# Преобразование 2-го типа
> Dchangevar(t=arctan(tau), diff(x(t), t) = sin(t), t, tau);

D(x)(arctan(x)) = sin(arctan(f))]

> Dchangevar(x=sin(cos(t)),diff(y(x),x,x,x), x, t);

(D⁽³⁾)(y)(sin(cos(t)))

# Преобразование 3-го типа
> Dchangevar(x(t)=L*y(phi),diff(x(t),t$3) = tan(t),t,phi);

# Дополнительные примеры
> Dchangevar({t=T*phi,x(t)=L*y(phi)},diff(x(t)), t$3)=tan(t),t,phi);

> de := diff(y(x),x$2) = y(x)*diff(y(x),x)/x;

> Dchangevar({x=exp(t), y(x)=Y(t)},de,x,t);

Следует отметить, что подстановки являются мощным средством решения дифференциальных уравнений. Нередки случаи, когда дифференциальное уравнение не решается без их применения.

Функция нормализации ОДУ DEnormal синтаксически записывается в виде

DEnormal(des, ivar, dvar)

где des — система дифференциальных уравнений, ivar — независимая переменная и dvar — зависимая переменная. Применение этой функции поясняют следующие примеры:

> DE := х^3*у(х)+х^2*(х-1)*D(y)(х)+50*х^3*(D@@2)(y)(x)=x*sin(x);