Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

t=0..10e-5], [XX(24*aem,80*ur), YY(24*aem,80*ur),
t=0..10e-5], [XX(24*aem,90*ur), YY(24*aem,90*ur),
t=0..10e-5]], view=[0..0.65,0..0.65],
color=[red,red,blue,blue,black,black],labels=[x,y]);

Эти графики показаны на рис. 11.26.

Рис. 11.26. Траектории движения частиц

Полученные графики (рис. 11.26) наглядно показывают на одну из возможностей разделения изотопов. Как говорится, осталось подставить «стаканчик» в нужное место для ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи.

11.2.4. Моделирование рассеивания альфа-частиц

Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа-частицами с высокой энергией. Если бы «массивных» ядер не существовало, то альфа-частицы должны были бы спокойно пролетать тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги.

В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа-частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Maple. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа-частиц (см. файл rasseiv).

Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа-частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Au. Прицельное расстояние р равно 2∙10^{– 15} м.

Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа-частицы:

> restart;
> sys:=diff(x(t),t$2)=q1*q2*x(t)/(4*Pi*E0*massa*
(x(t)^2+у(t)^2)^(3/2)), diff(y(t),t$2)=q1*q2*y(t)/(4*Pi*E0*
massa*(x(t)^2+y(t)^2)^(3/2));

Введем исходные числовые данные для вычислений:

> q1:=2*1.6е-19:q2:=79*1.6е-19:massa:=4*1.67е-27:Е0:=8.85е-12:
а:=4е-13:р:=5е-15:Т:=4е6*1.6e-19:V0x:=sqrt(2*T/massa):

Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа-частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути:

> with(DEtools):ss:=DEplot({sys},{y(t),x(t)}, t=0..7e-20, [[x(0)=-a, D(x)(0)=V0x, y(0)=p, D(y)(0)=0],
[х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*4, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=p*8, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(x)(0)=V0x, y(0)=р*12, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=p*16, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*20, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*24, D(y)(0)=0], [х(0)=-а, D(х)(0)=V0x, y(0)=р*28, D(y)(0)=0]],
х(t)=-а..a, scene=[x(t),у(t)], stepsize=1e-21, linecolor=black):
> with(plottools): yy:=circle([0,0],2E-14,color=red,thickness=2) : Warning, the name translate has been redefined

Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа-частиц

> ss2:=PLOT(TEXT([0,-0.3а-14],` +`), FONT(HELVETICA, OBLIQUE,14)):

Осталось построить график траекторий движения альфа-частиц вблизи центра атома

> with(plots):
Warning, the name chargecoords has been redefined
> display([ss,yy,ss2],title=`Рассеивание а-частиц`, axes=framed);

График траекторий движения альфа-частиц вблизи ядра представлен на рис. 11.27. Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения.

Рис. 11.27. Траектории движения альфа-частиц вблизи ядра атома

Моделирование движения альфа-частиц вблизи малого и «массивного» ядра атома дают наглядное представление о математической и физической сути данного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать быстро летящие альфа-частицы прямо в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, что при этом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии. Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром. Но, это уже тема нового разговора, выходящего за рамки данной книги.

11.3. Моделирование и расчет электронных схем

11.3.1. Нужно ли применять Maple для моделирования и расчета электронных схем?

Нужно ли применять системы компьютерной математики для анализа, расчета и моделирования электронных схем? Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется с первого взгляда С одной стороны к услугам пользователя компьютера сейчас имеется ряд программ схемотехнического моделирования, например Micro-CAP, Electronics Workbench, PSpice, Design Labs и др., автоматически составляющих и решающих большие системы уравнений состояния электронных схем и моделирующих работу бесчисленного множества электронных схем без кропотливого «ручного» составления уравнений.

Но, с другой стороны, анализ схем в таких программах настолько автоматизирован, что начисто теряется его физическая и математическая сущность. Это не так уж страшно, когда моделируются типовые схемы на давно известных, или скорее просто хорошо знакомых, электронных приборах. Но, это явно плохо, когда объектом исследования и моделирования являются новые нетрадиционные схемы на новых или малоизвестных приборах или когда знание физических и математических основ работы таких схем принципиально необходимо. Например, при изучении их в вузах и университетах. В этом случае применение систем компьютерной математики не только возможно, но и принципиально необходимо.

11.3.2. Применение интеграла Дюамеля для расчета переходных процессов

Вернемся к линейным системам и рассмотрим еще один полезный метод расчета электрических цепей — с помощью интеграла Дюамеля. При нем можно рассчитать временную зависимость выходного напряжения u2(t) цепи по известному входному сигналу u1(t) и переходной характеристики цепи a(t). Возьмем в качестве первого классического примера дифференцирующую RC-цепь и вычислим ее реакцию на экспоненциально нарастающий перепад напряжения. Соответствующие расчеты приведены на рис. 11.28.

Рис. 11.28. Расчет реакции дифференцирующей цепи на экспоненциальный перепад напряжения

Рис. 11.28 представляет начало документа, в котором выполнен указанный выше расчет. Представлены заданные зависимости uI(t) и a(t), аналитическое выражение для интеграла Дюамеля (одна из 4 форм) и аналитическое выражение для искомой зависимости u2(t). Пока последнее выражение довольно простое. В конце этого фрагмента документа построены графики зависимостей u1(t), a(t) и u2(t).