Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

11.3.5. Моделирование цепи на туннельном диоде

А теперь займемся моделированием явно нелинейной цепи. Выполним его для цепи, которая состоит из последовательно включенных источника напряжения Es, резистора Rs, индуктивности L и туннельного диода, имеющий N-образную вольт-амперную характеристику (ВАХ) — см. файл tdc. Туннельный диод обладает емкостью С, что имитируется конденсатором С, подключенным параллельно туннельному диоду.

Пусть ВАХ реального туннельного диода задана выражением:

> restart;
> А:=-3: а:=10: В:=1*10^(-8): b:=20:
> Id:=Ud->A*Ud*exp(-a*Ud)+B*(exp(b*Ud-1));

Id := Ud →A Udе^(-aUd) + Вe^(bUd-1)

Построим график ВАХ:

> plot(Id(Ud), Ud=-.02..0.76, color=black);

Этот график представлен на рис. 11.39. Нетрудно заметить, что ВАХ туннельного диода не только резко нелинейна, но и содержит протяженный участок отрицательной дифференциальной проводимости, на котором ток падает с ростом напряжения на диоде. Это является признаком того, что такая цепь способна на переменном токе отдавать энергию во внешнюю цепь и приводить к возникновению колебаний в ней различного типа.

Рис. 11.39. ВАХ туннельного диода

Работа цепи описывается системой из двух дифференциальных уравнений:

di/dt= (Es-i(t) * Rs-u(t))/L
du/dt= (i(t)-Id(u(t))/C

Пусть задано Es=0,35 В, Rs=15 Ом, C=10∙10^{– 12}, L=30∙10^{– 9} и максимальное время моделирования tm=10∙10^{– 9}. Итак, задаем исходные данные:

> Es: = .35: Rs:=15: C:=10*10^(-12): L:=30*10^(-6): tm:=10*10^(-9):

Составим систему дифференциальных уравнений цепи и выполним ее решение с помощью функции dsolve:

> se:=diff(i(t),t) = (Es-i(t)*Rs-u(t)) /L,
difff(u(t), t) = (i(t)- Id(u(t))) / С;

> F:=dsolve({se, i(0)=0, u(0)=0}, {i(t),u(t)}, type=numeric,
method-=classiccal, stepsize=10^(-11), output=listprocedure);

F := [t = (proc(t) … end proc), u(t) =

i(t) = (proc(t) … end proc)]

Поскольку заведомо известно, что схема имеет малые значения L и С мы задали с помощью параметров достаточно малый шаг решения для функции dsolve — stepsize=10^(-11) (с). При больших шагах возможна численная неустойчивость решения, искажающая форму колебаний, получаемую при моделировании. Используя функции odeplot и display пакета plots построим графики решения в виде временных зависимостей u(t) и 10∙i(t) и линии, соответствующей спряжению Es источника питания:

> gu:=odeplot(F,[t, u(t)], 0..tm, color=black,
labels=[`t`, `u(t),10*i(t)`]):
> gi:=odeplot(F, [t, 10*i (t)], 0..tm, color=black):
> ge:=odeplot(F, [t,Es], 0..tm, color=red):
> display(gu, gi, ge);

Эти зависимости представлены на рис. 11.40. Из них хорошо видно, что цепь создает автоколебания релаксационного типа. Их форма сильно отличается от синусоидальной.

Рис. 11.40. Временные зависимости напряжения на туннельном диоде и тока

Решение можно представить также в виде фазового портрета, построенного на фоне построенных ВАХ и линии нагрузки резистора Rs:

> gv:=plot({Id(Ud), (Es-Ud)/Rs), Ud=-.05..0.75, color=black, labels=[Ud,Id]):
> gpp:=odeplot(F,[u(t),i(t)], 0..tm,color=blue):
> display(gv,gpp);

Фазовый портрет колебаний показан на рис. 11.41.

Рис. 11.41. Фазовый портрет колебаний на фоне ВАХ туннельного диода и линии нагрузки резистора Rs

О том, что колебания релаксационные можно судить по тому, что уже первый цикл колебаний вырождается в замкнутую кривую — предельный цикл, форма которого заметно отличается от эллиптической (при эллиптической форме фазового портрета форма колебаний синусоидальная).

Итак, мы видим, что данная цепь выполняет функцию генератора незатухающих релаксационных колебаний. Хотя поставленная задача моделирования цепи на туннельном диоде успешно решена, в ходе ее решения мы столкнулись с проблемой обеспечения малого шага по времени при решении системы дифференциальных уравнений, описывающих работу цепи. При неудачном выборе шага можно наблюдать явную неустойчивость решения.

11.3.6. Моделирование детектора амплитудно-модулированного сигнала

Еще один пример, наглядно иллюстрирующий трудности моделирования существенно нелинейных систем и цепей, описывающихся нелинейными дифференциальными уравнениями — детектирование амплитудно-модулированных сигналов. Простейший детектор таких сигналов представляет собой полупроводниковый диод, через который источник сигнала подключается к параллельной RC-цепи, выполняющей роль простого фильтра (без конденсатора С результат детектирования имел бы вид обрезанного снизу сигнала).

Диод имеет резко нелинейную вольт-амперную характеристику. Ток через него равен:

Id = I0∙(е^v/0.05– 1),

где v — напряжение на диоде, I0 — малый обратный ток диода.

Экспоненциальная зависимость тока от напряжения порождает большие трудности в моделировании этого крайне простого устройства. На обратной ветви вольт-амперной характеристики диода его дифференциальное сопротивление очень велико (многие МОм), а на прямой ветви напротив мало (десятки и даже единицы Ом). Это порождает жесткость дифференциального уравнения, описывающего детектор и требует применения численных методов решения жестких дифференциальных уравнений. Заметим, что аналитического решения данная задача не имеет, ввиду нелинейности дифференциального уравнения, описывающего работу детектора.

С учетом этих обстоятельств, построен документ, представленный на рис. 11.42, и решающий данную задачу. В нем определено исходное дифференциальное уравнение и содержится его решение при заданных исходных данных — детектируется амплитудно-модулированный сигнал с амплитудой Um=5 В (размерные величины опущены), частотой несущей f=20 кГц, частотой модуляции F=1000 Гц и коэффициентом модуляции m=0.5. Определена вольт-амперная характеристика диода при I0=1 мкА и построен ее график. Далее выполнено решение нелинейного дифференциального уравнения при R=100 Ом и С=5 мкФ с помощью функции dsolve и построение графиков исходного сигнала и сигнала на выходе детектора (утолщенной линией).