Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир

За счет применения универсальных законов сложения эти правила давали системе одно важное преимущество над подсчетом с помощью «палочек», а именно возможность производить арифметические операции. Например, возьмем числа семь (VII) и восемь (VIII). Согласно правилам поместить их друг за другом VIIVIII – все равно что сложить их. Затем по правилам нужно переставить символы в порядке убывания их величины: VVIIIII. Затем нужно заменить две V на X и пять I на V. В результате получим XV, что является представлением числа пятнадцать. Но при этом происходит нечто новое, и дело не просто в сокращении записи: открыта и доказана абстрактная истина, связывающая между собой семь, восемь и пятнадцать, и при этом никто ничего не отмечал и не пересчитывал. Мы работали с самими числами, посредством их записей.

Когда я говорю, что арифметические операции совершались системой записи чисел, я вкладываю в это буквальный смысл. Конечно, физически эти преобразования производили люди, пользовавшиеся этой системой. Но для этого им сначала нужно было записать ее правила у себя в голове, а затем выполнить их, как компьютер выполняет программу. Причем, как известно, именно программа диктует действия компьютеру, а не наоборот. Значит, процесс, которые мы называем «выполнением арифметических операций с римскими цифрами» также состоит в том, что римская система записи использует нас для совершения арифметических операций.

Римская система смогла выжить только за счет того, что вынуждала людей совершать эти действия, другими словами, она добивалась того, что римляне копировали ее из поколения в поколение: они считали ее полезной и передавали своим потомкам. Как я сказал, знания – это информация, которая, физически закрепившись в подходящей среде, стремится там остаться.

Услышав, что римская система записи чисел подчиняет нас себе, чтобы размножиться и не прекратить свое существование, кто-то, наверно, может подумать, что люди низводятся до статуса рабов. Но это было бы заблуждением. Люди состоят из абстрактной информации, включая характерные идеи, теории, намерения, чувства и другие состояния души, которые характеризуют конкретное «я». Спорить с тем, что, когда мы находим римские цифры полезными, мы идем у них «на поводу», все равно что протестовать против того, что мы ходим на поводу у наших намерений. Рассуждая таким образом, можно прийти к тому, что пытаться спастись от рабства – это тоже рабство. На самом же деле, когда я говорю, что подчиняюсь программе, которая меня же составляет, (или что я подчиняюсь законам физики), в слово «подчиняться» я вкладываю несколько иной смысл, чем раб. Эти два значения слова объясняют события, находящиеся на разных уровнях эмерджентности.

Вопреки тому, что иногда говорят, существовали и достаточно продуктивные способы умножения и деления римских чисел. Так, можно было узнать, что корабль, в трюме которого – XX ящиков, в каждом из которых V рядов по VII кувшинов, всего перевозит

D

CC кувшинов, и при этом длинных вычислений, подразумеваемых в этом числе, не потребуется. И можно было сразу сказать, что 

D

CC меньше, чем 

D

CCI. Таким образом, возможность управляться с числами без начертания и подсчета «палочек» позволяла вычислять цены, зарплаты, налоги, проценты по кредиту и так далее. Кроме того, это было концептуальным продвижением, открывшим двери будущему прогрессу. Однако в том, что касается этих более сложных применений, система универсальной не была. Поскольку символа со значением, большим CD (одна тысяча), не было, все числа, начиная с двух тысяч, начинались с цепочки из нескольких CD, тем самым становясь всего лишь условными метками со значением тысячи. Чем больше их было в числе, тем больше для выполнения арифметических операций приходилось прибегать к старой системе меток (рассматривать множество одинаковых символов друг за другом).

Подобно тому, как добавлением пиктограмм можно было расширять словарь древней системы письма, добавлением символов можно было расширить диапазон системы записи чисел, что и делалось. Но в получающейся системе всегда был символ с самым большим значением, а значит, она не была универсальной в плане совершения арифметических операций без поштучного пересчета.

Единственный способ освободить арифметику от «палочек» – использовать правила с универсальной сферой применимости. Как и с алфавитами, достаточно будет небольшого набора базовых правил и символов. В универсальной системе, которой все пользуются сегодня, десять символов, это цифры от 0 до 9, а своей универсальностью она обязана правилу, в соответствии с которым значение цифры зависит от ее положения в числе. Например, цифра 2 означает два, если она сама по себе, но двести, если она присутствует в числе 204. В таких «позиционных» системах нужны «заполнители» разрядов, как, например, цифра 0 в числе 204, единственная функция которой – сдвинуть двойку в позицию, означающую «двести».

Эта система зародилась в Индии, но когда именно, неизвестно. Возможно, это случилось лишь в девятом веке, поскольку до этого она вроде как встречается только в нескольких неоднозначных документах. Так или иначе, ее огромный потенциал для науки, математики, техники и торговли широко не осознавался. Примерно в то же время ее взяли на вооружение арабские ученые, но в обиход в арабском мире она вошла только через тысячу лет. Любопытное отсутствие стремления к универсальности повторилось и в средневековой Европе: индийские цифры были переняты у арабов лишь несколькими учеными в десятом веке (и в результате были ошибочно названы «арабскими цифрами»), но в повседневное использование они вошли только столетия спустя.

Уже к 1900 году до нашей эры древние вавилоняне изобрели в сущности универсальную систему счисления, но и они вполне могли не задумываться об универсальности и даже вовсе о ней не знать. Это была позиционная система, но очень громоздкая по сравнению с индийской. В ней было 59 «цифр», каждая из которых записывалась как число в системе типа римской. Пользоваться ею для совершения арифметических операций с числами в повседневной жизни было еще сложнее, чем римскими цифрами [30] . В этой системе также не было символа для нуля, а вместо заполнителей использовались пробелы. Изобразить ноль в конце строки было никак нельзя, эквивалента десятичной запятой тоже не было (это все равно что в нашей системе числа 200, 20, 2, 0,2 и так далее все записывались бы как 2, и различить их можно было бы только по контексту). Все это наводит на мысль, что при разработке системы задача добиться универсальности не была основной, и когда она была достигнута, ее особо не оценили.

30

Тем не менее она широко применялась в научных трудах на протяжении трех тысячелетий; в частности, вавилонскую шестидесятиричную систему использовал Клавдий Птолемей в трактате «Величайшее сочинение» («Альмагест»). Мы пользуемся наследием этой системы по сей день, разделяя час на 60 минут и минуту на 60 секунд и указывая географические и небесные координаты в градусах, минутах и секундах. – Прим. ред.

Возможно, понять эту странную закономерность позволит примечательный случай, произошедший в третьем веке до нашей эры с древнегреческим ученым и математиком Архимедом. В ходе своих исследований в области астрономии и чистой математики он столкнулся с необходимостью производить арифметические операции с достаточно большими числами, и ему пришлось изобрести свою собственную систему записи. Он отталкивался от греческой, с которой был знаком и которая была похожа на римскую [31] , только в ней символ с наибольшим значением обозначался через M – 10 000 (один мириад). Диапазон системы уже был расширен правилом, предписывающим умножать на десять тысяч число, написанное над M. Например, двадцать обозначалось символом , а четыре – , и двадцать четыре мириада (240 000) можно было записать как

.

31

Древнегреческая (аттическая) система записи чисел действительно была похожа на римскую, более того – являлась ее прототипом. В примере, однако, автор использует более современную и еще менее универсальную ионическую систему, основанную на присвоении каждой из 27 букв и знаков алфавита конкретного числового значения – от 1 до 9, от 10 до 90 и от 100 до 900. (Для записи тысяч буквы повторялись, начиная с .) Вместе с греческим алфавитом эта система была заимствована в Древней Руси и широко использовалась вплоть до начала XVIII века. – Прим. ред.

Если бы только по этому правилу можно было создавать многоуровневые числа, чтобы

означало бы 24 мириада мириадов, система стала бы универсальной. Но, очевидно, греки до этого так и не дошли [32] . И, что более удивительно, не дошел и Архимед. Его система строилась на другой идее, напоминающей современное «экспоненциальное представление» (когда, скажем, два миллиона записываются как 2x106), только в степень возводилось не десять, а мириад мириадов (100 000 000). Но в этом случае требовалось, чтобы число, являвшееся показателем степени (в которую возводились сто миллионов), существовало в греческой системе. Другим словами, показатель степени не мог превышать сто миллионов или около того. Значит, эта конструкция иссякала после числа, которое мы бы записали как 10800 000 000. Если бы не это дополнительное правило, у Архимеда получилась бы универсальная система, хотя и неоправданно неуклюжая.

32

Отметим, что в современном китайском языке имеются и активно используются для записи больших чисел иероглифы, соответствующие 10 000 и 100 000 000. – Прим. ред.

Даже сегодня числа, больше 10800 000 000, могут пригодиться разве что математикам, и то очень редко. Но вряд ли Архимед наложил свое ограничение из-за этого, потому что на этом он не остановился. Продолжив исследовать понятие чисел, он добавил еще одно расширение, на этот раз получилась еще более странная система с основанием 10800 000 000. Но снова он разрешил возводить это число только в степени, не превышающие 800 000 000, устанавливая таким образом произвольный предел где-то после 106,4x1017.

Зачем? Сегодня кажется, что, накладывая ограничение на то, какие символы можно использовать в его числовой записи и в каких позициях, Архимед просто упрямствовал в своих заблуждениях. Для этого нет никакого математического оправдания! Но если бы Архимед захотел позволить применять свои правила без произвольных ограничений, он мог бы изобрести гораздо более удачную универсальную систему, просто убрав произвольные ограничения из существовавшей тогда греческой системы. (Несколькими годами позже математик Аполлоний придумал еще одну систему записи чисел, которой точно так же не хватало универсальности. Такое впечатление, что в античном мире все намеренно ее избегали!)