Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир
Шрифт:
Вот что писал об индийской системе математик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827): «Мы должны оценить грандиозность этого достижения, вспомнив, что до него не додумались Архимед и Аполлоний, два величайших ума античного мира». Но верно ли, что они не додумались до этого понятия? Может, они просто предпочли держаться от него подальше? Архимед должен был понимать, что метод расширения системы записи чисел, которым он воспользовался два раза подряд, можно продолжать до бесконечности. Но, возможно, он сомневался, что получившиеся в результате записи обозначали что-либо пригодное для разумного обсуждения. Действительно, одним из мотивов для всего этого начинания было желание опровергнуть идею, трюизм того времени, что песчинки на пляже сосчитать невозможно. И Архимед воспользовался своей системой, чтобы подсчитать, сколько песчинок понадобилось бы, чтобы заполнить всю небесную сферу. Это наводит на мысль, что ни у него, ни в древнегреческой культуре в целом, могло не быть в принципе понятия абстрактного числа,
А вот еще более спорная версия. Самая большая польза от универсальности, за рамками тех обиходных задач, ради решения которых она достигается, состоит в том, что она может пригодиться для дальнейшего новаторства. Но новаторство непредсказуемо. Поэтому, чтобы оценить универсальность на момент ее открытия, нужно либо просто ценить абстрактные знания сами по себе, либо ожидать от них непредвиденных выгод. В обществе, в котором перемены происходили редко, и то, и другое было бы довольно неестественно. Но все перевернулось с приходом Просвещения, основная идея которого, как я говорил, в том, что прогресс и желаем, и достижим. А раз так, то это же можно сказать и про универсальность.
Как бы то ни было, с приходом Просвещения парохиальность и все произвольные исключения и ограничения стали рассматриваться как сомнительные по сути, причем не только в науке. Почему закон должен различать аристократа и обычного человека? Раба и хозяина? Женщину и мужчину? Философы Просвещения, такие как Локк, занялись освобождением политических институтов от произвольных правил и условностей. Другие пытались вывести нравственные принципы из универсальных моральных объяснений вместо того, чтобы просто закрепить их постулатами. Таким образом, свое место рядом с универсальными теориями материи и движения стали занимать объяснительные теории справедливости, законности и нравственности. Во всех этих случаях универсальность уже искали намеренно, как желаемое и даже необходимое свойство для того, чтобы идея была верной, а не просто как средство решения конкретной проблемы.
Скачком к универсальности, который сыграл важную роль на заре Просвещения, стало изобретение принципа печати наборными шрифтами. Он заключался в использовании отдельных кусочков металла, на каждом из которых выдавлен контур буквы алфавита. В более ранних формах печатания просто рационализировали письмо подобно тому, как римские цифры позволили рационализовать подсчет «палочек»: каждую страницу гравировали на печатной пластине так, что все символы на ней можно было скопировать за раз. Но если есть набор подвижных литер, где каждая встречается по несколько раз, то больше не нужно возиться с металлообработкой. Просто берешь и составляешь из литер слова и предложения. Для производства печатного шрифта не нужно было знать, какие документы будут с его помощью печататься и о чем в них будут сообщать: набор литер универсален.
И тем не менее наборные шрифты почти не изменили Китай, где они были изобретены в одиннадцатом веке – возможно, из-за обычного отсутствия интереса к универсальности или из-за того, что в китайской системе письма использовались тысячи пиктограмм, что уменьшало непосредственные преимущества универсальной системы печати. Но когда в пятнадцатом веке в Европе Иоганн Гутенберг заново придумал ее в применении к алфавитному шрифту, это привело к дальнейшему лавинообразному прогрессу.
Здесь мы видим переход, типичный для скачка к универсальности: до него приходилось изготавливать специальные предметы для каждого документа, который нужно было напечатать, а после для этого просто приспосабливается (или настраивается, или программируется) универсальный объект, в данном случае печатный станок с наборным шрифтом. Сходным образом в 1801 году Жозеф-Мари Жаккар изобрел шелкоткацкий станок широкого применения, который теперь называют станком Жаккара. Больше не нужно было управлять вручную каждым рядом петель на каждом отдельном рулоне узорчатого шелка. Достаточно было запрограммировать произвольный узор на перфорированных картах, служащих инструкцией для станка, который воспроизводил его любое количество раз.
Наиболее весомым среди таких достижений являются компьютеры, от которых сегодня зависит все больше и больше технологий и которые имеют глубокое теоретическое и философское значение. Скачок к вычислительной универсальности должен был случиться в 1820-е годы, когда математик Чарльз Бэббидж изобрел устройство, которое он назвал разностной машиной, – механический калькулятор, в котором десятичные знаки представлялись с помощью зубцов, каждый из которых можно было установить в одном из десяти положений. Исходное назначение машины было
ограниченным: автоматизировать составление таблиц значений математических функций, таких как логарифмы и косинусы, которые активно использовались в навигации и инженерном деле. В то время эту работу выполняли армии клерков-вычислителей, которых по-английски называли словом «computer» (откуда, собственно, и произошло современное компьютер) и которые были известны частыми ошибками. Разностная машина совершала бы меньше ошибок уже потому, что арифметические правила закладывались в нее на этапе конструирования. Чтобы машина распечатала таблицу для заданной функции, ее нужно было запрограммировать один раз, определив функцию через простые операции [33] . В отличие от этого, «людям-компьютерам» приходилось использовать как определение, так и общие правила арифметики (или, как было отмечено выше, правила использовали людей для своей реализации) тысячи раз для каждой таблицы, и каждый раз человек мог ошибиться.33
Имеется в виду разложение функции в ряд по степеням аргумента. – Прим. ред.
К сожалению, несмотря на то, что Бэббидж вложил в этот проект огромные средства – как собственные, так и выделенные правительством Британии, он оказался таким плохим организатором, что так и не довел свою разностную машину до завершения. Но его проект оказался вполне годным (за исключением нескольких тривиальных ошибок), и в 1991 году группа специалистов под руководством инженера Дорона Суэйда из Музея науки в Лондоне успешно построила работающую машину с помощью инженерных средств, доступных во времена Бэббиджа.
На фоне современных компьютеров и даже калькуляторов разностная машина Бэббиджа имела очень ограниченный набор действий. Но причина, по которой она вообще могла существовать, – в той закономерности, которая присуща всем математическим функциям, применяемым в физике, а значит, и в навигации и в инженерном деле. Эти функции называются аналитическими, и в 1710 году математик Брук Тейлор установил, что их можно аппроксимировать с произвольно высокой точностью, многократно используя сложение и умножение – операции, которые как раз и выполняет разностная машина. (Частные случаи были известны и до этого, но скачок к универсальности был обоснован Тейлором.) Таким образом, для решения узкой проблемы вычисления нескольких функций, таблицы которых были необходимы для последующих расчетов, Бэббидж создал калькулятор, универсально подходящий для вычисления аналитических функций. В нем использовалась и универсальность наборных шрифтов – в печатающем устройстве, похожем на пишущую машинку, – без чего не удалось бы полностью автоматизировать печатание таблиц.
Изначально у Бэббиджа не было представления о вычислительной универсальности. Тем не менее его разностная машина оказалась замечательно близка к ней – не по набору производимых вычислений, а по физическому устройству. Чтобы запрограммировать ее для печати заданной таблицы, нужно привести в исходное состояние определенные зубцы. В конце концов Бэббидж понял, что данный этап программирования тоже поддается автоматизации: настройки можно заготавливать на перфокартах, как у Жаккара, а затем механически передавать на зубцы. Таким путем не только исключался главный остающийся источник ошибок, но и расширялся набор действий машины. Затем Бэббидж понял, что если бы машина могла пробивать новые карточки для дальнейшего использования в ней же и могла бы управлять тем, какую карту считывать следующей (скажем, беря их из пачки в зависимости от положения шестеренок), то могло бы получиться нечто качественно новое: скачок к универсальности.
Эту усовершенствованную машину он назвал аналитической. Он и его коллега, женщина-математик, графиня Ада Лавлейс знали, что эта машина сможет вычислять все, что могут «люди-компьютеры», и не только производить арифметические операции: она сможет решать алгебраические уравнения, играть в шахматы, сочинять музыку, обрабатывать изображения и так далее. Она стала бы тем, что сегодня называется универсальным классическим компьютером. (В главе 11, в которой речь пойдет о квантовых компьютерах, работающих на еще более высоком уровне универсальности, я объясню, почему приписка «классический» так важна.)
Однако ни эти ученые, ни кто-либо другой в течение еще столетия не представлял себе, для чего будут сегодня чаще всего применяться вычисления, а именно Интернет, обработка текстов, поиск по базам данных, игры. Но есть еще одно важное применение, которое они предвидели, – это научные предсказания. Аналитическая машина могла стать универсальным моделирующим устройством, способным предсказать поведение любого физического объекта с любой желаемой точностью с учетом соответствующих законов физики. Это та универсальность, о которой я говорил в главе 3, благодаря которой в физических объектах, непохожих друг на друга и подчиняющихся разным законам физики (как, например, мозг и квазар), могут проявляться одинаковые математические зависимости.