Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир

Это стало возможным за счет того, что бесконечное множество вселенных с различными значениями D – уже не просто множество. Это единая физическая сущность, мультивселенная [48] с внутренними взаимодействиями (с которыми удалось справиться прибору Лиры), связывающими различные ее части между собой и тем самым придающими уникальный смысл, называемый мерой, пропорциям и средним, взятым по разным вселенным.

Ни одна из основанных на антропном принципе теорий, которые были предложены для решения задачи тонкой настройки, такой меры не дает. Многие недалеко уходят от рассуждений вроде «А что, если бы существовали вселенные с другими константами?». Но есть в физике одна теория, которая уже описывает мультивселенную исходя из независимых соображений. Во всех ее вселенных одни и те же физические константы, а взаимодействия этих вселенных не подразумевают путешествия из одной в другую или измерений одной из другой. Наконец, эта теория дает меру для вселенных. Это квантовая теория, о которой речь пойдет в главе 11.

48

Также употребляется термин мультиверс. – Прим. ред.

Определение бесконечности с использованием взаимно однозначного соответствия между множеством и его частью принадлежит Кантору. Оно лишь косвенно связано с неформальным, интуитивным восприятием бесконечности нематематиками как до этого, так и впоследствии, а именно, что «бесконечный» означает нечто вроде «больше, чем любая конечная комбинация конечных сущностей». Но с таким неформальным понятием, не имея какой-либо независимой идеи о том, что делает сущность конечной, и благодаря чему отдельная операция «комбинирования» является конечной, можно зациклиться. На интуитивном уровне ответ будет антропоцентрическим: нечто определенно конечно, если его в принципе можно охватить человеческим опытом. Но что это значит, «испытать что-то на опыте»? Испытывал ли Кантор бесконечность на опыте, когда доказывал теоремы о ней? Или его опыт ограничивался лишь символами? Но мы только и делаем, что работаем с символами.

Этого антропоцентризма можно избежать, обратившись к измерительным приборам: если величину в принципе может зарегистрировать какой-либо измерительный прибор, она уж точно ни бесконечна большая, ни бесконечно малая. Однако согласно этому определению величина может быть конечной, даже если лежащее в ее основе объяснение ссылается на бесконечное множество в математическом смысле. Показывая результат измерения, стрелка на счетчике может передвинуться на сантиметр, что является конечным расстоянием, но оно состоит из несчетного бесконечного множества точек. Такое возможно, потому что, хотя точки и входят в объяснения самого низкого уровня, число точек в предсказаниях никак не упоминается. Физика оперирует расстояниями, а не числом точек. Аналогично Ньютон и Лейбниц могли с помощью бесконечно малых расстояний объяснять такие физические величины, как мгновенная скорость, хотя, например, в непрерывном движении пули нет ничего физически бесконечно малого или большого.

Когда администраторы отеля «Бесконечность» делают конечное публичное объявление, для них это конечная операция, хотя в результате в отеле происходят преобразования, охватывающие бесконечное число событий. С другой стороны, большинство логически возможных трансформаций могли быть достигнуты только путем бесконечного числа таких объявлений, чего законы физики в том мире не позволяют. Не забывайте, что в отеле «Бесконечность» никто – ни персонал, ни постояльцы – никогда не производит больше, чем конечное число действий. Аналогичным образом в мультивселенной Лиры измерительный прибор за конечное двухминутное путешествие может вычислить среднее от бесконечного числа значений. Таким образом, в том мире это физически конечная операция. Но чтобы найти «среднее» того же бесконечного множества в другом порядке, потребовалось бы бесконечное число таких путешествий, что было бы невозможно по соответствующим законам физики.

Лишь законы физики определяют, что в природе является конечным. Те, кому не удавалось это понять, часто оказывались в замешательстве. Среди ранних примеров – парадоксы Зенона Элейского, например, о черепахе и Ахиллесе. Зенон заключил, что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у нее будет преимущество на старте, потому что к тому времени, как Ахиллес доберется до точки, откуда стартовала черепаха, она уже уйдет немного вперед. А когда он достигнет этой новой точки, она уйдет еще немного вперед и так далее до бесконечности. Таким образом, чтобы «догнать» черепаху, Ахиллесу нужно совершить бесконечное число таких шагов за конечное время, что, будучи существом конечным, он, предположительно, сделать не может.

Понимаете, что сделал Зенон? Он просто предположил, что математическое понятие, которое, принято называть «бесконечностью», верно отражает различие между конечным и бесконечным, существенное для описанной физической ситуации. Это просто-напросто неверно. Если он сетует на то, что математическое понятие бесконечности не имеет смысла, мы можем отослать его к Кантору, который показал обратное. Если его не устраивает, что физическое событие, заключающееся в том, что Ахиллес обгонит черепаху, не имеет смысла, он утверждает, что законы физики противоречивы, но это не так. Но если он говорит, что в движении есть что-то противоречивое, потому что невозможно почувствовать каждую точку непрерывного пути, то он просто путает два различных понятия, каждое из которых называют «бесконечностью». Во всех его парадоксах ошибка именно в этом.

Что Ахиллес может сделать, а чего нет, невозможно вывести из математики. Это зависит только от того, что говорят соответствующие законы физики. Если согласно этим законам он обгонит черепаху за заданное время, значит, так оно и будет. Если для этого придется сделать бесконечное число шагов вида «перейди в определенное положение», то столько их и будет сделано. Если Ахиллесу для этого придется пройти через несчетное бесконечное число точек, то он пройдет через них. Но с физической точки зрения не произойдет ничего бесконечного.

Таким образом, законы физики определяют различие не только между редким и часто встречающимся, вероятным и невероятным, тонко настроенным и нет, но даже между конечным и бесконечным. Подобно тому, как в одном и том же множестве вселенных может быть много астрофизиков, если вести измерения согласно одному набору законов физики, и их там может практически не быть при измерениях по другим законам, одна и та же последовательность событий может быть конечной или бесконечной в зависимости от законов физики.

Ошибку Зенона повторяли и в случае с другими математическими абстракциями. В общих чертах, она заключается в том, что абстрактный признак путают с одноименным физическим. Поскольку можно доказать теоремы о математическом признаке, которые имеют статус абсолютно необходимых истин, можно ошибочно предположить наличие априорного знания о том, что законы физики должны говорить о соответствующем физическом признаке.

Другой пример – из геометрии. На протяжении веков не проводилось четкой границы между ее статусом как математической системы и физической теории, и вначале это не сильно мешало, потому что остальные науки значительно уступали геометрии в сложности, а теория Евклида была отличным приближением для всех возможных целей того времени. Но затем философ Иммануил Кант (1724–1804), который прекрасно знал о разнице между абсолютно необходимыми истинами математики и случайными истинами науки, тем не менее заключил, что законы геометрии Евклида самоочевидно истинны в природе. А значит, он считал, что нет разумных поводов для сомнений в том, что сумма углов реального треугольника составляет 180 градусов. И таким способом он довел это ранее безобидное заблуждение до центрального недостатка своей философии, а именно учения о том, что определенные истины о физическом мире могут быть «известны априори», другими словами, без вмешательства науки. И, конечно же, в довершение всего под «известны» он, к сожалению, имел в виду «обоснованы».

Но еще до того, как Кант заявил о невозможности поставить под сомнение евклидовость геометрии реального пространства, математики уже начали подозревать, что это не так. Вскоре после этого математик и физик Карл Фридрих Гаусс даже занялся измерением углов большого треугольника, но не нашел никаких отклонений от предсказаний Евклида. В итоге эйнштейнова теория искривленного пространства и времени, которая противоречила евклидовой, была проверена путем экспериментов более точных, чем гауссовы. Оказалось, что в пространстве рядом с Землей углы большого треугольника в сумме могут давать 180,0000002 градуса – это отклонение от евклидовой геометрии сегодня приходится учитывать, например, в спутниковых навигационных системах. В других случаях, например вблизи черных дыр, различия между евклидовой и эйнштейновой геометриями настолько велики, что их уже нельзя охарактеризовать термином «отклонение».

Еще один пример той же ошибки относится к области информатики. Изначально Тьюринг закладывал основы вычислительной теории не для того, чтобы построить компьютер, а чтобы изучать природу математического доказательства. В 1900 году Гильберт поставил математикам задачу – сформулировать строгую теорию о том, чем является доказательство, и одним из условий было то, что доказательства должны быть конечными: в них должен использоваться только фиксированный и конечный набор правил вывода; они должны начинаться с конечного числа конечно выраженных аксиом и содержать лишь конечное число элементарных шагов, причем сами шаги должны быть конечными. Вычисления, как они понимаются в рамках теории Тьюринга, по сути то же самое, что доказательства: каждое корректное доказательство можно преобразовать в вычисление, которое получает вывод, начиная с исходных допущений, а каждое правильно выполненное вычисление доказывает, что выходные данные – это результат выполнения заданных операций над входными данными.