Начало бесконечности. Объяснения, которые меняют мир

А значит, неразрешимость противоречит максиме о том, что проблемы можно решить, не больше, чем тот факт, что существуют истины о физическом мире, о которых мы никогда не узнаем. Я думаю, что однажды в нашем распоряжении будут технологии, которые позволят подсчитать точное число песчинок на Земле, но я сомневаюсь, что мы когда-нибудь узнаем, сколько точно их было во времена Архимеда. В самом деле, я уже говорил о более сильных ограничениях на то, что мы можем узнать и чего можем достичь. Есть прямые ограничения, наложенные универсальными законами физики: нельзя превысить скорость света и так далее. Есть ограничения эпистемологии: мы можем создавать знания только путем подверженного ошибкам метода выдвижения гипотез и их критики; ошибки неизбежны, и только процессы, допускающие исправление ошибок, приведут к успеху или смогут длиться долго. Ничто из этого не противоречит упомянутой максиме, потому что ни одно из этих ограничений вовсе не обязано приводить к неразрешимому конфликту объяснений.

Таким образом, я предполагаю, что в математике, так же как в науке и в философии, если вопрос представляет интерес, то проблему можно решить. Согласно фаллибилизму мы можем заблуждаться относительно того, что интересно. Поэтому из данной гипотезы вытекают три следствия. Первое заключается в том, что принципиально неразрешимые задачи также принципиально неинтересны. Второе – в том, что в конечном счете различие между интересным и скучным – это не вопрос субъективного вкуса, а объективный факт. А третье следствие говорит, что интересная проблема, состоящая в том, почему любая интересная проблема разрешима, и сама разрешима. На настоящий момент мы не знаем, почему кажется, что законы физики тонко настроены; мы не знаем, почему существуют различные формы универсальности (хотя нам известно о многих связях между ними); мы не знаем, почему устройство мира поддается объяснению. Но в конце концов мы все это узнаем. И когда это случится, то останется еще бесконечно много явлений, требующих объяснения.

Самое важное из всех ограничений на создание знаний – это то, что мы не пророки: мы не можем предсказывать содержание и последствия идей, которые еще только предстоит создать. Это ограничение не только согласуется с безграничным ростом знаний, но и следует из него, как я объясню в следующей главе.

То, что проблемы разрешимы, не означает, что мы уже знаем их решения или можем сформировать, когда они потребуются. Это было бы сродни креационизму. Биолог Питер Медавар [51] описывал науку как «искусство разрешимого», но то же самое применимо и ко всем формам знания. Творческое мышление любого типа включают в себя оценку того, какие подходы могут сработать, а какие нет. Заинтересоваться определенной задачей или подзадачей или потерять к ней интерес – часть творческого процесса, которая сама по себе составляет процесс решения проблем. Таким образом, «разрешимость проблем» не зависит от того, можно ли ответить на любой заданный вопрос вообще или может ли на него ответить конкретный мыслитель в конкретный день. Но если бы когда-нибудь прогресс зависел от необходимости нарушить закон физики, максима «проблемы можно решить» оказалась бы ложной.

51

Питер Брайан Медавар (1915–1987) – британский биолог, член Королевского общества, лауреат Нобелевской премии по медицине и физиологии 1960 года.

Терминология

Взаимно однозначное соответствие – правило, по которому каждый элемент одного множества сопоставляется с определенным элементом другого множества.

Бесконечное (с математической точки зрения) – множество бесконечно, если существует взаимно однозначное соответствие между ним и его частью.

Бесконечное (с физической точки зрения) – достаточно расплывчатое понятие, означающее что-то вроде «больше, чем что-либо, что можно испытать на опыте в принципе».

Счетное бесконечное – бесконечное, но достаточно небольшое, может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами.

Мера – метод, посредством которого в теории обретают смысл пропорции и средние по бесконечным множествам чего-либо, например вселенных.

Сингулярность – ситуация, в которой нечто физическое становится неограниченно большим, хотя и остается везде конечным.

Мультивселенная – единая физическая сущность, содержащая более одной вселенной.

Бесконечный регресс – заблуждение, в котором аргумент или объяснение зависит от вспомогательного аргумента той же формы, который претендует на решение той же проблемы, что и исходный аргумент.

Вычисление – физический процесс, в котором воплощаются свойства какой-либо абстрактной сущности.

Доказательство – вычисление, которое при наличии теории о том, как работает компьютер, на котором оно выполняется, устанавливает истинность некоего абстрактного утверждения.

Значения «начала бесконечности», встречающиеся в этой главе

– Конец античной антипатии к бесконечному (и универсальному).

– Математический анализ, теория Кантора и другие теории о бесконечном большом и малом в математике.

– Вид вдоль коридора в отеле «Бесконечность».

– Свойство бесконечных последовательностей, заключающееся в том, что любой их элемент исключительно близок к началу.

– Универсальность разума.

– Бесконечная сфера применимости некоторых идей.

– Внутренняя структура мультивселенной, которая наделяет смыслом «бесконечное множество вселенных».

– Непредсказуемость содержания будущего знания – необходимое условие неограниченного роста этого знания.

Краткое содержание

Понять бесконечность можно через бесконечную сферу применимости некоторых объяснений. Это понятие имеет смысл как в математике, так и в физике. Но оно обладает контринтуитивными свойствами, часть из которых иллюстрируются мысленным экспериментом Гильберта, связанным с отелем «Бесконечность». Одно из них заключается в том, что если неограниченный прогресс действительно имеет место, то мы не просто сейчас находимся у самых его истоков, но мы всегда будем вблизи них находиться. С помощью своего диагонального метода Кантор доказал, что существует бесконечно много уровней бесконечности, из которых в физике используется от силы один или два: бесконечность натуральных чисел и бесконечность континуума. Там, где есть бесконечно много одинаковых копий наблюдателя (например, во множественных вселенных), вероятность и пропорции имеют смысл, только если вся эта совокупность имеет структуру, подчиняющуюся законам физики, наделяющим ее смыслом. У простой бесконечной последовательности вселенных, такой как номера в отеле «Бесконечность», подобной структуры нет, а значит, для объяснения кажущейся «тонкой настройки» физических констант одних только антропных рассуждений недостаточно. Доказательство – это физический процесс: является ли математическое утверждение доказуемым или нет, разрешимым или нет, зависит от законов физики, определяющих, какие абстрактные сущности и отношения моделируются физическими объектами. Аналогично является ли задача или структура простой или сложной зависит от того, каковы законы физики.

9. Оптимизм

Возможности, которые несет в себе будущее, бесконечны. Когда я говорю, что «наш долг – оставаться оптимистами», я имею в виду не только открытость будущего, но также и то, что каждый из нас вносит в него свой вклад, что бы мы ни делали: мы все в ответе за то, что ждет нас в будущем. Таким образом, наш долг – не пророчить беду, а, наоборот, бороться за лучший мир.

Карл Поппер, 1994 [52]

52

Цитата из введения к сборнику статей: Karl Popper, The Myth of the Framework: In Defence of Science and Rationality (Edited by M. A. Notturno), 1994, p. xiii.

Мартин Рис подозревает, что цивилизации повезло пережить двадцатый век. Ведь на протяжении холодной войны всегда оставалась возможность начала еще одной мировой, и на этот раз с применением водородных бомб, в результате чего цивилизация была бы разрушена. Эта опасность, по-видимому, миновала, но в своей книге «Наше последнее столетие» (Our Final Century), опубликованной в 2003 году, Рис приходит к тревожному выводу, что сейчас шансы цивилизации пережить двадцать первое столетие составляют всего 50 %.

И вновь это обусловлено опасностью, что вновь созданное знание приведет к катастрофическим последствиям. Например, по мнению Риса, оружие уничтожения цивилизации, в особенности биологическое, вполне вероятно вскоре станет настолько простым в изготовлении, что невозможно будет помешать обзавестись им террористическим организациям или даже отдельным недоброжелателям. Он также опасается, что случайные катастрофы, вроде утечки из лаборатории генетически модифицированных организмов, могут вызвать пандемию неизлечимой болезни. Разумные роботы и нанотехнологии (инженерное искусство на атомном уровне), пишет он, «могут в долгосрочной перспективе оказаться еще более серьезной угрозой». И «нельзя исключить, что физика тоже может оказаться опасной». Например, высказывалось предположение, что своей работой ускорители элементарных частиц, в которых на короткое время создаются условия в некоторых аспектах более экстремальные, чем что бы то ни было со времен Большого взрыва, могут дестабилизировать сам космический вакуум и разрушить всю нашу Вселенную.