Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Некоторые вещи — такие, как электрический заряд, банковские балансы или даты [58] , измеряются количественно этими числами. Однако сфера применения целых чисел все же слишком ограничена, поскольку делениеодного числа на другое может оказаться неразрешимой задачей в рамках целых чисел. Соответственно, нам понадобятся дроби, или, как их называют, рациональные числа:

0, 1, -1, 1/2, -1, 2, -2, 3/2, -3/2, 1/3…

58

На самом деле при счете дат имеет место некоторое отступление от этого правила, поскольку нулевой год пропускается.

Этих чисел достаточно для операций конечной арифметики, но для очень многих задач нам потребуется пойти еще дальше, с тем чтобы охватить бесконечные операции или операции перехода к пределу. Например, хорошо известная — и играющая огромную роль в математике — величина ж возникает как результат многих бесконечных выражений. В частности, мы имеем:

а также

Это знаменитые выражения. Первое из них было найдено английским математиком, филологом и криптографом Джоном Уоллисом в 1655 году, а второе — шотландским математиком и астрономом (а также изобретателем первого телескопа-рефлектора) Джеймсом Грегори в 1671 году. Как и , определенные подобным образом числа не обязаны быть рациональными (то есть представляться в виде m/n , где m и n — целые числа, причем n не равно нулю). Систему чисел необходимо расширить, обеспечив возможность включения в нее таких величин.

Расширенная таким образом система чисел называется системой действительных чисел— тех самых хорошо знакомых нам чисел, что представляются в виде бесконечных десятичных дробей, таких как:

– 583,70264439121009538…

В этом представлении мы получаем следующее известное выражение для числа :

= 3,14159265358979323846….

Другими примерами чисел, представимых таким образом, являются квадратные корни (или кубические корни, или корни четвертой степени) из положительных рациональных чисел, такие как:

2= 1,41421356237309504…

или же квадратные корни (или кубические корни и т. д.) любого положительного числа, как, например, выражение для числа , найденное великим швейцарским математиком Леонардом Эйлером:

= 6 (1 + 1/4 + 1/9 + 1/25 + 1/36 +…).

Действительные числа нам в сущности хорошо знакомы — мы с ними сталкиваемся в повседневной жизни. Правда обычно нас интересуют всего лишь приближения к этим числам и мы предпочитаем ограничиваться разложениями, состоящими из небольшого числа десятичных знаков. Тем не менее, в математических утверждениях может потребоваться точноезадание действительных чисел и, как следствие, необходимость в некотором бесконечном способе описания наподобие бесконечной десятичной дроби, или какого-нибудь иного бесконечного математического выражения вроде приведенных выше формул для числа , предложенных Уоллисом, Грегори и Эйлером. (В дальнейшем я буду обычно использовать десятичные дроби, но лишь потому, что они нам наиболее привычны. У математиков есть множество разных и более удовлетворительных способов представления действительных чисел, но нас это здесь не интересует.)

Может создаться впечатление, что представить себе все бесконечное десятичное разложение целиком невозможно, но это не так. Вот простой пример, когда вся последовательность знаков оказывается явным образом обозримой:

1/3 = 0,333333333333333…

Многоточие указывает на то, что последовательность троек продолжается бесконечно. Для получения полного представления об этом разложении достаточно знать, что оно действительно состоит из неограниченной последовательности одних лишь троек. У каждого рационального числа есть повторяющееся (или конечное) десятичное представление вроде:

93/74 = 1,2567567567567567…,

где последовательность 567повторяется неограниченное число раз. Это число тоже оказывается полностью обозримым. Также обозримым является выражение

0,220002222000002222220000000222222220…

которое определяет иррациональноечисло (оно просто состоит из последовательностей нулей и двоек, длины которых каждый раз увеличиваются на единицу), и еще много похожих выражений. В каждом таком случае нам достаточно знать правило, по которому составлено разложение. Знание алгоритма порождения очередной цифры в разложении числа — при условии, что такой алгоритм существует — дает нам способ «увидеть» целиком все бесконечное десятичное разложение. Действительные числа с алгоритмически порождаемыми десятичными разложениями называются вычислимымичислами (см. также гл.2 «Числа, отличные от натуральных»). (При этом не важно, десятичное это разложение или двоичное. Вычислимыми в этом смысле оказываются одни и те же числа, независимо от использованного основания разложения.) Только что рассмотренные числа и 2 представляют собой примеры вычислимых чисел. В обоих случаях подробное описание соответствующего правила — задача довольно-таки кропотливая, но, в принципе, нетрудная.

Есть, однако, действительные числа, которые не являются вычислимыми в упомянутом выше смысле. Как мы убедились в главе 2, существуют невычислимые и при этом совершенно четко определенные последовательности. В качестве примера можно рассмотреть десятичное разложение, в котором n – я цифра равна 0 или 1 в зависимости от того, останавливается или нет n – я машина Тьюринга, производящая действия над числом n . В общем случае мы потребуем лишь, чтобы для действительного числа существовало какое-нибудь бесконечное десятичное разложение. Мы не только не требуем существования алгоритма порождения n – й цифры, но нам даже не обязательно знать о существовании какого бы то ни было правила, в принципе определяющего n – ю цифру [59] . Заметим, что вычислимые числа неудобны в работе. Невозможно обойтись одними лишь вычислимыми операциями, даже оперируя вычислимыми числами. Например, в общем случае вычислимым образом невозможно даже решить, равны ли два вычислимых числа друг другу! По этой причине мы будем работать со всеми действительными числами, когда десятичная последовательность может быть любой, а не только, скажем, вычислимой.

59

Насколько мне известно, точка зрения, согласно которой для любого действительно числа должно существовать некое — пусть неэффективное и даже совершенно неопределимое в рамках заданной формальной системы (см. главу 4) — правило, позволяющее определить его n – й знак, является вполне непротиворечивой, хотя и нетрадиционной. Я сильно надеюсь на то, что этот подход действительно непротиворечив, поскольку именно этой точки зрения я сам больше всего хотел бы придерживаться!

В заключение отметим также тождественность действительных чисел, чьи десятичные разложения заканчиваются бесконечной последовательностью девяток, и чисел, чьи разложения заканчиваются бесконечной последовательностью нулей. Например:

— 27,1860999999… = -27,1861000000…

Сколько же всего действительных чисел?

Давайте остановимся на минутку, чтобы оценить всю колоссальность обобщения при переходе от рациональных чисел к действительным.

Вначале может показаться, что целых чисел больше, чем натуральных, поскольку каждое натуральное число является целым, в то время как некоторые целые числа (а именно отрицательные) натуральными не являются. Аналогично может создаться впечатление, что дробей больше, чем целых чисел. Однако это не так. Согласно мощной и очень красивой теории бесконечных чисел, разработанной в конце XIX века Георгом Кантором — исключительно самобытным немецким математиком русского происхождения, — общее число дробных чисел, общее количество всех целых чисел и число всех натуральных чисел равны одному и тому жебесконечному числу, обозначаемому N ₀ [60] «алеф-нуль»). (Удивительно, что похожая идея была частично предвосхищена еще за 250 лет до этого в начале XVII века великим итальянским физиком и астрономом Галилео Галилеем. Мы вспомним о некоторых других достижениях Галилея в главе 5.) Равенство количества целых чисел количеству натуральных чисел видно из следующего взаимно-однозначного соответствия:

60

В книге использован символ Алеф — первая буква семитских (еврейский, иврит) алфавитов напоминающий N латыни.

Обратите внимание, что каждое целое число (в левом столбце) и каждое натуральное число (в правом столбце) встречаются один и только один раз в своем списке. В канторовской теории множеств именно существование такого рода взаимно-однозначного соответствия устанавливает факт равенствачисла объектов в левом столбце числу объектов в правом столбце. Таким образом, число целых чисел действительно равно числу натуральных чисел. В данном случае это число бесконечно, но это не Имеет значения. (Единственное необычное свойство бесконечных чисел состоит в том, что даже если мы исключим некоторые элементы одного из списков, мы можем установить взаимно-одиозначное соответствие между элементами двух списков.) Аналогичным, хотя и несколько более сложным образом, устанавливается взаимно-однозначное соответствие между дробными и целыми числами. (Для этого можно использовать какой-либо из способов представления парнатуральных чисел — числителей и знаменателей — через отдельные натуральные числа; см. главу 2, «Двоичная запись цифровых данных») Множества, которые можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с рядом натуральных чисел, называются счетными; таким образом, счетные бесконечные множества — это множества, состоящие из N ₀элементов. И, как мы только что убедились, множество целых чисел, равно как и множество дробных чисел, является счетным.

Существуют ли множества, не являющиеся счетными? Несмотря на расширение натуральной системы чисел сначала целыми, а затем и рациональными числами, общее число рассматриваемых объектов не увеличилось. Как мы убедились, число объектов во всех случаях осталось счетным. У читателя теперь может создаться впечатление, что все бесконечные множества счетны. Это не так, поскольку ситуация меняется коренным образом при переходе к действительным числам. Одним из замечательных достижений Кантора явилось доказательство того, что действительных чисел больше, чем натуральных. При этом Кантор применил так называемый диагональный процесс, который упоминался в главе 2 и который Тьюринг использовал в своем доказательстве неразрешимости проблемы остановкиДля машин Тьюринга. Доказательство Кантора, как и более позднее доказательство Тьюринга, — это доказательство от противного. Предположим, что утверждение, справедливость которого мы хотим установить, на самом деле ложно, то есть множество действительных чисел счетно. Тогда множество действительных чисел в интервале от 0до 1должно быть заведомо счетным и должен существовать какой-нибудьсписок, устанавливающий взаимно-однозначное соответствие между рассматриваемым множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел, наподобие вот этого: