Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Угол при начале координат между 1 и uv равен сумме углов между 1 и v и между 1 и u (все углы измеряются против часовой стрелки), а расстояние точки uv от начала координат равно произведению расстояний от начала координат до u и v . Это эквивалентно утверждению, что треугольник, образованный точками 0 , v и uv подобен (и ориентирован подобно) треугольнику, образованному точками 0 , 1 и u . (Энергичные читатели, не знакомые с такого рода построениями, могут сами убедиться в том, что эти построения непосредственно следуют из только что приведенных алгебраических правил сложения и умножения комплексных чисел, также как и упомянутые выше тригонометрические тождества.)

Построение множества Мандельброта

Теперь мы можем рассмотреть, как определяется множество Мандельброта. Пусть z — это некоторое произвольное комплексное число. Каковым бы ни было это число, оно представляется некоторой точкой на плоскости Аргана. Рассмотрим теперь отображение, при котором z превращается в новое комплексное число, равное

z -> z ²+ с ,

где с есть некое фиксированное (то есть заданное) комплексное число. Числу z ²+ с будет сопоставляться некоторая другая точка на плоскости Аргана. Например, если с равно числу 1,63— i4,2, то z отображается согласно формуле

z -> z ²+ 1,63— i4,2,

так что, в частности, число 3 превратится в

З ²+ 1,63 — i4,2= 9+ 1,63 — i4,2= 10,63 — i4,2,

а число – 2,7+ i0,3в

(- 2,7+ i0,3) ² + 1,63 — i4,2=

= (- 2,7) ² — ( 0,3) ² + 1,63+

+ i{(- 2,7)( 0,3) — 4,2} = 8,83 — i5,82.

Когда числа становятся громоздкими, вычисления лучше выполнять на компьютере.

Теперь, каково бы ни было число c , число 0 превращается, согласно принятой схеме, в число с . А что же можно сказать о самом числе с ? Оно превращается в с ²+ с . Давайте продолжим этот процесс, применив наше преобразование к с ²+ с . Мы получим:

( с ²+ с) ² + с= с+ 2 с+ с ²+ с.

Снова повторим отображение, применив его к приведенному выше числу. Мы получим:

( с ⁴+ 2 с ³+ с ²+ с) ² + с=

= с ⁸+ 4с ⁷+ 6 с ⁶+ 6с ⁵+ 5с ⁴+ 2 с ³+ с ²+ с.

Потом еще раз применим процедуру, теперь уже к последнему числу, и т. д. В результате мы получаем последовательность комплексных чисел, которая начинается с числа 0 :

0, с, с ²+ с, с ⁴+ 2с ³+ с ²+ с…

Данная процедура, будучи реализована при некоторыхопределенных значениях комплексного числа с , дает последовательность чисел, которые все время остаются вблизи начала координат плоскости Аргана; точнее, для выбранных таким образом значений с получаемая последовательность оказывается ограниченной, то есть любой ее член находится в пределах некоторого фиксированного круга с центром в начале координат (рис. 3.12).

Рис. 3.12.Последовательность точек на плоскости Аргана ограничена, если вся она целиком помещается в пределах некоторого фиксированного круга. (Итерация на рисунке начинаетсл с точки 0 и построена для с = — l/2 + ( l/2 ) i .)

Хорошим примером здесь может служить последовательность с = 0 , поскольку каждый ее член равен 0 . Другим примером ограниченного поведения является случай с = 1, при котором получается последовательность 0, -1, 0, -1, 0, -1….; еще один пример — это с = i , когда получается последовательность 0, i, i — 1, -i, i — 1, -i, i — 1, -i….. Однако, для целого ряда других комплексных чисел с получаемая последовательность все дальше удаляется от начала координат, то есть является неограниченнойи не может находиться целиком в пределах фиксированного круга. Именно так происходит при с = 1 , когда получается последовательность 0, 1, 2, 5, 26, 677,458 330….; аналогичное поведение имеет место в случае с = 3— соответствующая последовательность имеет вид 0, -3, 6, 33,1086….; а также случай с = i — 1, который приводит к последовательности 0, i — 1, -i — 1, -1 + 3i, — 9 — i5, 55 + i91, -5257 + i10011,

Множество Мандельброта — то есть зачерненная часть страны Тор'Блед-Нам [64] — как раз и есть та самая область на плоскости Аргана, что состоит из всех точек с , для которых получаемая последовательность является ограниченной. Белая же область состоит из тех точек с , для которых получается неограниченная последовательность. Приведенные выше подробные рисунки основаны на результатах компьютерных вычислений. На компьютере был проведен систематический перебор всевозможных комплексных чисел с , для каждого из них строилась последовательность 0 , с , с ² + с …, после чего согласно некоторому критерию определялось, ограничена или нет получаемая последовательность. Если последовательность оказывалась ограниченной, то соответствующая числу с точка экрана становилась черной. Таким образом, для каждой точки в рассматриваемой области компьютер решал, закрасить ее в белый или черный цвет.

64

В оригинале — Tor’Bled-Nam. А что получится, если прочитать наоборот? — Прим. ред.