Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Предположим, что сконструировано некоторое устройство, способное посылать сигнал со скоростью немного больше скорости света. Пользуясь этим устройством, наблюдатель W посылает сигнал из точки А на своей мировой линии к далекой точке В , расположенной непосредственно под световым конусом события А . На рис. 5.31 aэта ситуация изображена с точки зрения наблюдателя W , но на рис. 5.31 бкартина нарисована уже по-другому, с точки зрения второго наблюдателя U , который быстро движется от W (из точки, например, между А и В ) — и наблюдателю U событие В кажется происходящим раньше события А ! (Такая «перерисовка» есть не что иное, как движение Пуанкаре, как описано выше, см. «Специальная теория относительности Эйнштейна и Пуанкаре») С точки зрения наблюдателя W одновременные пространства наблюдателя U представляются «наклоненными». Поэтому событие В кажется наблюдателю U происходящим раньше события А . Таким образом, для U сигнал, испущенный наблюдателем W , будет распространяться назад во времени!

Здесь пока еще нет явного противоречия. Но, учитывая симметричность картины с точки зрения наблюдателя U (в силу принципа специальной относительности), третий наблюдатель V , движущийся от наблюдателя U в сторону, противоположную той, в которую движется наблюдатель W , и оснащенный таким же, как и у наблюдателя W , устройством, мог бы в свою очередь послать сигнал, распространяющийся быстрее света с его (наблюдателя V ) точки зрения, в направлении, противоположном направлению сигнала, испущенного наблюдателем W . Наблюдателю U при этом будет казаться, что сигнал, испущенный наблюдателем V , тоже движется назад во времени — но в противоположном (пространственном) направлении. Действительно, наблюдатель V мог бы послать второй сигнал к наблюдателю W в момент ( В ) получения исходного сигнала, пришедшего от наблюдателя W . Этот сигнал достигает наблюдателя W в тот момент, когда происходит событие С , которое (по оценке наблюдателя U ) предшествует испусканию исходного сигнала (событию А ) (рис. 5.32).

Рис. 5.32.Если у наблюдателя Vимеется сверхсветовое сигнальное устройство, тождественное устройству, имеющемуся у W, но посылающее сигналы в противоположном направлении, то наблюдатель Wможет им воспользоваться для того, чтобы отправить послание в свое собственное прошлое!

Но еще хуже то, что событие С действительно происходит раньше события А (испускания исходного сигнала) на собственной мировойлинии наблюдателя W , поэтому W действительно воспринимает событие С как происходящее до того, как он испускает сигнал (события А )! Сигнал, отправляемый наблюдателем V обратно наблюдателю W , мог бы, по предварительной договоренности с W , просто повторять сигнал, полученный наблюдателем W в точке В . Таким образом, W получает в более ранний момент времени на своей мировой линии тот же самый сигнал, который он сам собирается послать позднее! Разнося двух наблюдателей достаточно далеко друг от друга, можно устроить все так, что ответный сигнал будет опережать исходный на сколь угодно большое время. Возможно, наблюдатель W своим исходным сигналом сообщал о том, что он сломал ногу. Тогда ответный сигнал он мог бы получить задолго до того, как с ним произошло это печальное происшествие, и тогда (предположительно) он мог бы предпринять необходимые меры предосторожности и избежать несчастного случая!

Таким образом, распространение сигналов со сверхсветовыми скоростями вместе с эйнштейновским принципом относительности приводит к вопиющему противоречию с нашим нормальным пониманием «свободы воли». В действительности, ситуация еще более серьезна, чем до сих пор представлялось. Ибо мы могли бы сделать «наблюдателя W » всего лишь механическим устройством, запрограммированным так, чтобы посылать в ответ тот же сигнал, который был им получен (т. е. отвечать на « НЕТ» — « НЕТ» и на « ДА» — « ДА»). Это приводит к такому же принципиальному противоречию, как то, с которым нам уже приходилось сталкиваться прежде [133] . Причем кажется, что на этот раз оно не зависит от наличия у наблюдателя W «свободы воли». Это свидетельствует о том, что на устройство, способное испускать сверхсветовые сигналы, не стоит «делать ставку» как на физически возможное. В дальнейшем это обстоятельство еще приведет нас с вами к удивительным выводам (глава 6, «„Парадокс“ Эйнштейна, Подольского и Розена»).

133

Существуют определенные (не очень убедительные) пути для обхода этого затруднения (см. Уилер, Фейнман [1945]).

Исходя из вышесказанного, давайте примем, что сигналы любого рода — а не только переносимые обычными физическими частицами — должны быть ограничены световыми конусами. Действительно, то, о чем мы только что говорили, опирается на идеи специальнойтеории относительности — но и в общей теории относительности правила СТО (локально) остаются в силе. Именно локальная выполнимость положений специальной теории относительности позволяет утверждать, что все сигналы остаются в пределах световых конусов, поэтому то же самое должно выполнятся и в общей теории относительности. Далее мы посмотрим, как это отражается на вопросах детерминизмав рамках этих теорий. Напомним, что в ньютоновской (или гамильтоновой и т. д.) схеме «детерминизм» — это возможность однозначного определения поведения системы в любой момент времени при условии, что заданы начальные условия. Если мы будем смотреть на ньютоновскую теорию с точки зрения пространства-времени, то «конкретное время», когда мы задаем эти начальные условия, будет представлено некоторым трехмерным «слоем» в четырехмерном пространстве-времени (т. е. будет всем пространством в этот момент времени). В теории относительности не существует одного глобального понятия «времени», которое можно было бы выделить для этой цели. Обычный подход предполагает гибкое отношение к этому вопросу. Годится любое «время». В специальной теории относительности вместо упоминавшегося выше «слоя» можно взять одновременное пространство какого-нибудь наблюдателя и задать на нем начальные данные. Но в общей теории относительности понятие «одновременного пространства» достаточно размыто. Вместо него можно воспользоваться более общим понятием пространственно-подобной поверхности [134] . Такая поверхность изображена на рис. 5.33; она характеризуется тем, что в каждой из своих точек она лежит целиком вне светового конуса — так, что локальноона напоминает одновременное пространство.

134

Технически термин «гиперповерхность» более точен, чем «поверхность», так как объект не двумерен, а трехмерен.

Рис. 5.33.Пространственно-подобная поверхность для задания начальных условий в общей теории относительности

Детерминизм в СТО можно сформулировать так: начальные данные на любом заданном одновременном пространстве S определяют поведение системы во всем пространстве-времени. (В частности, это верно для теории Максвелла, которая действительно является «специально релятивистской» теорией.) Однако можно высказать и более сильное утверждение. Если мы хотим знать, что произойдет в некоторой точке Р , лежащей где-то в будущем по отношению к пространству S , то для этого нам необходимы начальные данные не на всем S , а только в некоторой ограниченной (конечной) области пространства S — потому, что «информация» не может распространяться быстрее света, так что любые точки пространства S , лежащие слишком далеко для того, чтобы световые сигналы из них могли достигать Р , не оказывают на Р никакого влияния (рис. 5.34) [135] .

135

Можно заметить, что волновое уравнение (см. примечание 118 гл.5 «Вычислимость и волновое уравнение»), как и уравнение Максвелла, также является релятивистским уравнением. Таким образом, «феномен невычислимости» Пур-Эля — Ричардса, рассмотренный нами ранее, тоже зависит только от начальных данных в ограниченных областях пространства S .

Рис. 5.34.В специальной теории относительности то, что происходит в точке Р, зависит только от данных, заданных в конечнойобласти одновременного пространства. Так происходит потому, что никакое воздействие не может достичь точки Р быстрее света

Это гораздо более удовлетворительный результат по сравнению с той ситуацией, которая возникает в ньютоновском случае, где в принципе потребовалось бы иметь информацию о всем бесконечном«слое», для того, чтобы иметь возможность предсказать ближайшее будущее хотя бы для одной точки. На скорость, с которой может распространяться ньютоновская информация, не существует никаких ограничений, и действие ньютоновских сил поэтому распространяется мгновенно .

«Детерминизм» в общейтеории относительности — вопрос гораздо более сложный, чем в СТО , и я ограничусь здесь лишь несколькими замечаниями. Прежде всего, для задания начальных условий нам необходимо воспользоваться пространственноподобной поверхностью S (а не просто одновременной поверхностью). Тогда оказывается, что уравнение Эйнштейна задают локальнодетерминистское поведение гравитационного поля в предположении (как обычно), что поля материи, дающие вклад в тензор ЭНЕРГИЯ , ведут себя детерминистским образом. Однако здесь возникают значительные осложнения. Сама геометрия пространства-времени (включая ее «причинную» структуру — расположение световых конусов) теперь становится частью того, что требуется определить. Априори расположение световых конусов нам не известно, так что мы не можем сказать, какие части поверхности S необходимы для однозначного определения поведения системы в некотором будущем событии Р . Но могут сложиться такие экстремальные ситуации, когда всех точек поверхности S для этого окажется недостаточно, и, соответственно, глобальный детерминизм будет утрачен! (Здесь затрагиваются непростые вопросы, имеющие отношение к одной важной нерешенной пока проблеме в общей теории относительности, которая известна под названием «космической цензуры» и связана с образованием черных дыр (Типлер и др. [1980]); см. главу 7, подгл. «Черные дыры») Маловероятно, чтобы любое подобное «крушение детерминизма», обусловленное «экстремальными» гравитационными полями, имело непосредственное отношение к тому, что происходит на «человеческих» масштабах — но тем не менее это недвусмысленно указывает на отсутствие ясности в вопросе о детерминизме в рамках общей теории относительности.

Вычислимость в классической физике: где мы находимся?

На протяжении всей этой главы я старался не упускать из виду проблему вычислимости и, проводя различие между вычислимостью и детерминизмом, стремился показать, что первая может иметь не меньшее значение, коль скоро речь заходит о «свободе воли» и умственной деятельности. Но само понятие детерминизма в рамках классической теории оказалось не настолько четко определенным, как принято было думать. Мы видели, что при изучении классического уравнения Лоренца для движения заряженной частицы возникает целый ряд тревожных вопросов. (Вспомним «убегающие решения» Дирака.) Потом было показано, что и в общей теории относительности с детерминизмом сопряжены определенные трудности. Когда в таких теориях нет детерминизма — в них заведомо нет и вычислимости. Тем не менее ни в одном из названных случаев не создается впечатление, что отказ от детерминизма может существенным образом повлиять на нашу философию. В подобных явлениях еще «нет места» для нашей свободы воли: во-первых, потому, что классическое уравнение Лоренца для точечной частицы (в том виде, как его решил Дирак) нельзя считать пригодным с физической точки зрения для использования на том уровне, где возникают эти проблемы; и, во-вторых, потому, что масштабы, на которых классическая общая теория относительности приводит к такого рода проблемам (черные дыры и т. д.), в принципе не сравнимы с масштабами нашего собственного головного мозга.

Спрашивается: что мы сейчас знаем о вычислимостив классической теории? Разумно предположить, что в общей теории относительности мы сталкиваемся с теми же проблемами, что и в СТО — если не считать тех различий в вопросах причинности и детерминизма, о которых было только что сказано. Там, где будущее поведение физической системы определяется начальными данными, оно в то же время должно (из соображений, изложенных при рассмотрении ньютоновской теории) быть вычислимона основе тех же начальных данных [136] (не считая «бесполезного» типа невычислимости, с которым столкнулись Пур-Эль и Ричардс в случае волнового уравнения, о чем уже говорилось выше; эта ситуация не реализуется при гладкоизменяющихся данных). Действительно, трудно представить, каким образом в любой из рассмотренных мной до сих пор физических теорий могут возникнуть какие-либо существенные «невычислимые» элементы. Можно заведомо предсказать, что «хаотической» поведение является типичным для большинства из этих теорий, где весьма малые изменения начальных данных способны вызвать громадные расхождения в последующем поведении. (Именно так, насколько можно судить, обстоит дело в общей теории относительности; см. Мизнер [1969], Белинский и др. [1970].) Но, как я уже упоминал выше, довольно трудно понять, каким образом этот тип невычислимости (т. е. непредсказуемости) может быть «использован» в устройстве, с помощью которого мы могли бы попытаться «подчинить» себе возможные невычислимые элементы в физических законах. Если «разум» способен каким-то образом использовать невычислимые элементы, то последние должны, видимо, лежать вне классической физики. Нам придется еще раз вернуться к этому вопросу позднее — после того, как мы в общих чертах познакомимся с квантовой теорией.

136

Строгие теоремы на этот счет были бы очень полезны и интересны. Но пока их нет.

Масса, материя и реальность

Произведем небольшую «ревизию» той картины мира, которую дала нам классическая физика. Во-первых, там существует пространство-время, выполняющее важнейшую функцию арены, на которой разыгрываются всевозможные физические процессы. Во-вторых, имеются физические объекты, задействованные в этих процессах, но ограниченные точными математическими законами. Физические объекты, о которых идет речь, бывают двух типов: частицы( корпускулы) и поля. Об истинной природе и отличительных особенностях частиц сказано немного, за исключением того, что у каждой частицы имеется своя мировая линия и каждая частица обладает индивидуальной массой покоя, (возможно) электрическим зарядом и т. д. С другой стороны поля описываются очень точно: электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла, а гравитационное поле — уравнениям Эйнштейна.