Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Часто свет бывает удобно описывать не электромагнитными волнами, а как поток частиц, называемых фотонами . Мы можем мысленно представлять себе «фотон» как крохотный «пакет» электромагнитного поля, осциллирующего с высокой частотой. Термин «волновой пакет» физически более приемлем в контексте квантовых описаний, к которым мы перейдем в следующей главе, но пока для нас будут полезны и «классические» фотоны. В свободном пространстве фотоны всегда движутся по прямолинейным траекториям с постоянной скоростью с . Это означает, что, изображенная на картине пространства-времени Минковского мировая линия фотона всегда имеет вид прямой, образующей с вертикалью угол 45°. Фотоны, образовавшиеся при взрыве в точке О пространства-времени, описывают световой конус с вершиной в О .

Описанными выше свойствами должны обладать все точки пространства-времени. В начале пространства-времени нет ничего особенного: точка О ничем не отличается от любой другой точки. Следовательно, в любой точке пространства-времени должен быть свой световой конус, имеющий такой же смысл, как и световой конус, исходящий из начала пространства-времени. История любой вспышки света, или мировые линии фотонов, если угодно воспользоваться корпускулярным описанием света, всегда располагаются на поверхности светового конуса с вершиной в каждой точке пространства-времени — тогда как история любой материальной частицы всегда должна располагаться внутри соответствующего светового конуса. Это показано на рис. 5.17. Семейство световых конусов во всех точках пространства-времени можно рассматривать как часть геометрии Минковского пространства-времени.

Рис. 5.17.Картина геометрии Минковского

Что такое геометрия Минковского? Самая важная ее часть — структура светового конуса, хотя геометрия Минковского ею не исчерпывается. В этой геометрии существует понятие «расстояния», во многом аналогичное определению расстояния в евклидовой геометрии. В трехмерной евклидовой геометрии расстояние rот произвольной точки до начала координат, выраженное через обычные декартовы координаты, определяется соотношением

r ² = x ² + y ² + z ²

Рис. 5.18.Сравнение «расстояний», измеренных в (а) евклидовой геометрии и (б) геометрии Минковского (здесь «расстояние» означает «прожитое время»)

(См. рис. 5.18 а. Это — всего лишь теорема Пифагора; возможно, двумерный вариант этого соотношения более привычен читателю.) В нашей трехмерной геометрии Минковского выражение для расстояния очень похоже на евклидово (рис. 5.18 б); существенное отличие состоит в том, что в геометрии Минковского это выражение содержит два знака минус:

Каков физический смысл величины «расстояния» s в этом выражении? Предположим, что мы рассматриваем точку Р с координатами ( t , x / c , y / c , z / c ), или ( t , x / c , z / c ) в трехмерном случае; см. рис. 5.16 — она лежит в световом конусе (будущего) точки О . Тогда прямолинейный отрезок ОР может представлять часть истории какой-то материальной частицы, например, испущенной при взрыве. «Длина» Минковского s отрезка ОР допускает прямую физическую интерпретацию. Это — продолжительность (длина) интервала времени, реально прожитого частицей между событиями О и Р ! Иначе говоря, если бы существовали очень прочные и точные часы, намертво прикрепленные к частице [122] , то разность между их показаниями в точках О и Р составила бы ровно s единиц времени. Вопреки ожиданиям, величина t сама по себе не описывает время, измеряемое этими гипотетическими часами — за исключением того случая, когда часы «покоятся» в нашей системе координат (т. е. имеют фиксированные значения координат х / с , у / с , z / c ), а это означает, что мировая линия часов имеет на «картине» вид вертикальной прямой. Таким образом, t будет задавать «время» только для тех наблюдателей, которые «стационарны» (т. е. чьи мировые линии — «вертикальные» прямые). Правильноймерой времени для движущегося (равномерно и прямолинейно из начала координат О ) наблюдателя, согласно специальной теории относительности, служит величина s . Заключение, к которому мы пришли, весьма удивительно и полностью расходится с находящейся в согласии со «здравым смыслом» галилеево-ньютони-анской мерой времени, которая просто совпадает с координатным значением t . Обратите внимание на то, что релятивистская (в смысле Минковского) мера времени s всегда несколько меньше, чем t , если вообще существует какое-то движение (так как s ² меньше, чем t ² , коль скоро не все координаты х / с , у / с , z / c равны нулю), как это следует из приведенной выше формулы. Наличие движения (т. е. случай, когда отрезок ОР расположен не вдоль оси t ) приводит к «замедлению» хода часов по сравнению с t , иными словами, по отношению к показаниям часов в нашей системе отсчета. Если скорость движения мала по сравнению с с , то величины s и t почти совпадают, чем объясняется то, что мы непосредственно не ощущаем «замедление хода движущихся часов». В другом предельном случае, когда скорость движения совпадает со скоростью света, точка Р лежит на световом конусе, и мы получаем s = 0 . Световой конус есть не что иное, как геометрическое место точек, для которых «расстояние» в смысле Минковского (т. е. «время») от начала координат О действительно равно нулю. Таким образом, фотон вообще «не ощущает», как течет время! (Мы не можем позволить себе рассматривать еще болееэкстремальный случай, когда точка Р движется у самой поверхности снаружи светового конуса, так как это привело бы к мнимому значению s — квадратному корню из отрицательного числа, и нарушило бы правило, согласно которому материальные частицы, или фотоны, не могут двигаться быстрее света.) [123]

122

Действительно, в некотором смысле, любая квантовомеханическая частица, встречающаяся в природе, сама по себе является часами. Как мы узнаем из главы 6, с любой квантовой частицей связано свое колебание, частота которого пропорциональна массе частицы (см. гл. 6 «Начало квантовой теории»). Именно этот эффект позволил создать точнейшие современные (атомные и ядерные) часы.

123

Тем не менее для событий, разделенных отрицательными значениями s ² , величина с ² – s ² имеет смысл, равняясь обычному расстоянию до того наблюдателя, которому события кажутся одновременными (см. далее).

Понятие «расстояния» в смысле Минковского одинаково хорошо применимо к любойпаре точек в пространстве-времени, одна из которых лежит внутри световою конуса другой, так что частица может двигаться из одной точки в другую. Мы просто будем считать, что начало координат О перенесено в какую-то иную точку пространства-времени. Кроме того, расстояние по Минковскому между точками соответствует интервалу времени, отсчитываемого часами, которые равномерно и прямолинейно движутся из одной точки в другую. Когда в качестве частицы выступает фотон, и расстояние в смысле Минковского обращается в нуль, мы получаем две точки, одна из которых лежит на световом конусе другой — что позволяет строитьсветовой конус для последней.

Основная структура геометрии Минковского со столь причудливой мерой «длины» мировых линий, интерпретируемой как время, измеряемое (или «прожитое») физическими часами, несет в себе самую суть специальной теории относительности. В частности, читателю, возможно, известен так называемый «парадокс близнецов» в СТО :

один из братьев-близнецов остается на Земле, другой совершает путешествие на соседнюю звезду, двигаясь туда и обратно с огромной скоростью, приближающейся к скорости света. По возвращении выясняется, что близнецы состарились неодинаково: путешественник все еще молод, а его брат, остававшийся на Земле, стал дряхлым стариком. «Парадокс близнецов» легко описывается в терминах геометрии Минковского, и всякий может без труда понять, почему это явление — хотя и способное озадачить — парадоксальным все же не является. Мировая линия АС принадлежит тому из близнецов, который остается дома, тогда как мировая линия близнеца-путешествен-ника состоит из двух отрезков А В и ВС , соответствующих полету на звезду и возвращению на Землю (рис. 5.19).

Рис. 5.19.Так называемый «парадокс близнецов» специальной теории относительности, трактуемый с помощью неравенства треугольника в геометрии Минковского. (Для сравнения приведен и евклидов случай.)

Близнец-домосед проживает время, измеряемое расстоянием в смысле Минковского АС , тогда как близнец-путешественник проживает время, измеряемое суммой [124] двух расстояний АВ и ВС . Эти времена не равны, и мы обнаруживаем, что

124

«Излом» на мировой линии путешественника в точке В мог бы вызвать беспокойство у читателя: судя по картинке, путешественник в этой точке должен испытывать бесконечно большое ускорение. Но это несущественно. При конечном ускорении мировая линия путешественника будет иметь в точке В просто закругленный, или сглаженный изгиб, который очень слабо скажется на полном времени, которое путешественник проживает, и которое по-прежнему измеряется «длиной» (в смысле Минковского) всей его мировой линии.

АС > АВ + ВС .

Это неравенство показывает, что время, прожитое близнецом-домоседом, действительно больше времени, прожитого близнецом-путешественником.

Полученное неравенство очень похоже на хорошо известное неравенство треугольникаиз обычной евклидовой геометрии ( А , B и С теперь — три точки в евклидовомпространстве):

АС < АВ + ВС ,

которое утверждает, что сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Это неравенство мы не считаем парадоксом! Мы прочно усвоили идею о том, что евклидова мера расстояния вдоль пути из одной точки в другую (в нашем случае — из А в С ), зависит от того, какой путь мы в действительности выберем. (В рассматриваемом примере двумя путями служат АС и более длинный изломанный маршрут ABC .) Неравенство треугольника — частный случай общего утверждения, которое гласит, что кратчайшее расстояние между двумя точками (в данном случае А и С ) измеряется по прямой, их соединяющей (отрезок АС ). Изменение знака неравенства на обратный при измерении расстояний в смысле Минковского происходит вследствие изменения знаков в определении «расстояния», в результате чего отрезок АС , измеряемый по Минковскому, оказывается «длиннее», чем ломаный маршрут ABC . Таким образом, «неравенство треугольника» в геометрии Минковского в более обобщенной формулировке говорит о том, что самой длинной(в смысле наибольшего прожитого времени) среди мировых линий, соединяющих два события, является прямая (т. е. траектория, соответствующая равномерному движению). Если оба близнеца стартуют из точки А и завершают свой путь в точке С , и при этом первый близнец движется прямо из А в С без ускорения, а второй — с ускорением, то первый близнец к моменту встречи со вторым всегда успевает прожить более длинный интервал времени.

Может показаться возмутительным вводить столь странную и сильно расходящуюся с нашими интуитивными представлениями концепцию меры времени. Однако ныне имеется огромное количество экспериментальных данных, свидетельствующих о правомерности такого положения. Например, существует много субатомных частиц, которые распадаются (т. е. превращаются в другие частицы) в определенной шкале времени. Иногда такие частицы движутся со скоростями, очень близкими к скорости света (например, так происходит с космическими лучами, попадающими на Землю из космического пространства, или в созданных человеком ускорителях элементарных частиц), и их времена распада оказываются при этом «растянуты» в полном согласии с вышеизложенными рассуждениями. Еще удивительнее другое: теперь, когда стало возможным изготовить особо точные («ядерные») часы, мы можем непосредственнообнаружить эффекты замедления хода часов, перевозимых на высокоскоростных самолетах, летающих на небольшой высоте — причем результаты измерений согласуются с мерой «расстояния» s в смысле Минковского, а не с t ! (Строго говоря, с учетом высотыприходится принимать во внимание небольшие дополнительные гравитационные эффекты, предсказываемые общейтеорией относительности, но они также согласуются с наблюдениями — см. следующий раздел.) Кроме того, существует много других явлений, тесно связанных со всей теоретической основой СТО , постоянно подтверждающейся вплоть до мельчайших деталей. Одно из них — знаменитое соотношение Эйнштейна