Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

Впрочем, интереснее другое. Я предлагаю вам поупражняться в различных действиях над группами и посмотреть, как выглядят группы наименьшего порядка.

В определении группы мы указали, что она обязательно должна содержать нейтральный элемент, поэтому группа не может быть пустой — она всегда будет содержать как минимум нейтральный элемент. Если порядок группы равен единице, она не может содержать других элементов, поэтому будет выглядеть так: G = {е}. Посмотрим, как выглядят группы из двух элементов. Они должны иметь вид G = {е, а}, где е — нейтральный элемент, а — другой элемент, отличный от е. По определению, а*е = е*а = а, а также е * е = е. Следовательно, чтобы полностью определить эту группу, достаточно найти значение а² = а * а. Этот элемент также должен принадлежать группе, поэтому у нас есть всего два варианта: либо а² = е, либо а² = а.

Последний вариант можно сразу же исключить из рассмотрения: применив закон сокращения к равенству а² = а, получим, что а = е, но мы уже отмечали, что а и е отличаются. Следовательно, существует всего одна группа второго порядка.

Группа второго порядка.

ЛЕВИ-СТРОСС: Я кое-что не понял: почему существует всего одна группа второго порядка? Ведь я могу заменить элемент а чем угодно.

ВЕЙЛЬ: Но таблица умножения не изменится. Важно не то, как выглядят элементы множества, а то, как они связаны между собой. Вспомните вашу историю с одуванчиком. Перестановки множества {1, 2, 3} не имеют ничего общего с преобразованиями, которые оставляют треугольник неизменным, но, как мы уже говорили, элементы обоих множеств можно объединить в пары так, что групповая операция будет корректной. С точки зрения структуры две эти группы будут неразличимы, изоморфны. Они подобны двум различным воплощениям одной и той же идеи

60

Платона — группы шестого порядка, отношения между элементами которой приведены в таблице. Понимаете?

ЛЕВИ-СТРОСС: Следовательно, существует всего одна «идея Платона» о группе третьего порядка?

ВЕЙЛЬ: Да, всего одна.

ЛЕВИ-СТРОСС: Дайте мне попробовать. Группа третьего порядка содержит е и два других элемента а и b, все ее элементы различны: G = {е, а, b}. Нам известно, что элементы группы связаны следующими отношениями: е * е = е, е*а = а*е = а и е*b = b*е = b. Попробуем вычислить значение а². Так как это элемент группы, допустимы всего три варианта: a² = е, a² = а и a² = b. Тем не менее мы вновь можем исключить из рассмотрения а² = а — в этом случае по закону сокращения элемент а будет равен нейтральному элементу. Остается два варианта: а² = е и а² = b. Но это означает, что существуют две разновидности групп третьего порядка!

ВЕЙЛЬ: Ваши рассуждения следует немного уточнить. Допустим, что а² = е.

Тогда таблица, описывающая эту группу, будет начинаться так:

Мы уже доказали, что таблица умножения группы — это латинский квадрат, поэтому в каждом столбце и каждой строке таблицы должны быть записаны все элементы группы. Во второй строке уже записаны а и е, следовательно, в третьей ячейке этой строки может находиться только b, но тогда в третьем столбце b будет записано дважды. Эту таблицу нельзя дополнить так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце были записаны все элементы группы. Следовательно, таблица не может описывать группу, и вариант a² = е исключен.

ЛЕВИ-СТРОСС: Таким образом, остается всего один вариант: a² = b. Очень интересно! Следовательно, мы можем записать группу так: G = {е, а, a²}. Верно?

ВЕЙЛЬ: Осталось указать, каким будет результат операции над а и a², то есть каким будет значение a³. Найти его очень просто: так как элемент a³ принадлежит группе, он может равняться только е, а или a². Тем не менее, если бы a³ был равен одному из двух последних элементов, то, применив закон сокращения один или два

61

раза, мы получили бы, что a³ — нейтральный элемент. Поскольку это не так, у нас остается единственный вариант: а³ = е. Все группы третьего порядка изоморфны.

Эту группу мы уже видели в нашем примере с преобразованиями треугольника. Если вы внимательно посмотрите на составленную нами таблицу умножения, то увидите, что ее часть полностью совпадает с группой третьего порядка. Иногда внутри групп содержатся другие, более мелкие группы, образованные частью элементов исходной группы. Они называются подгруппами.

Подгруппа третьего порядка.

Такие группы, образованные степенями одного и того же элемента, называются циклическими, а сам элемент называется порождающим. Для произвольной группы G семейство порождающих элементов — это конечное множество элементов группы, на основе которых можно получить все остальные ее элементы. К примеру, поворот R и симметрия S — порождающие элементы группы преобразований треугольника. Чтобы лучше понять, что такое циклические группы, представьте себе циферблат часов. Каждые 12 часов стрелка вновь возвращается в исходное положение, поэтому при взгляде на часы нельзя определить, прошло какое-то время или нет.

Если выборы заканчиваются в 9 часов вечера, а подсчет голосов длится четыре часа, то никому не придет в голову сказать, что результаты будут известны в 21 + 4 = 25 часов.

Вместо этого по достижении 24 часов нужно начать отсчет снова и добавить оставшийся час. Таким образом, итоги голосования будут известны в час ночи.

62

Существуют часы с циферблатами, разделенными на 12 и 24 деления, но ничто не мешает изготовить часы с произвольным числом делений, например n. Базовым множеством группы будет множество натуральных чисел, меньших n. Мы запишем эти числа в квадратных скобках, чтобы указать, что каждое из них в действительности обозначает несколько «часов» одновременно: [0], [1], [2] ... [n - 1].

Мне хотелось бы сказать, что операцией, определенной над двумя элементами множества, будет привычная нам операция сложения без квадратных скобок, однако в этом случае мы столкнемся с серьезной проблемой. Представьте, что n равно, например, 5. Тогда представленное выше множество будет иметь вид: [0], [1], [2], [3], [4]. Сумма элементов 3 и 4 будет равна 3 + 4 = 7, а это число не принадлежит множеству. Необходимо видоизменить операцию сложения. Будем обнулять счетчик всякий раз, достигая 5. В нашем примере с числами 3 + 2 = 5, после чего наступает следующий «день», и к полученному результату нужно добавить еще две единицы. Таким образом, [3] + [4] = [2]. Изменять некоторые другие суммы не потребуется: к примеру, 1 + 2 = 3, 3 меньше 5, следовательно, [1] + [2] = [3]. Тем не менее [2] + [3] = [0], а [2] + [4] = [1], так как из результата нужно вычесть 5.

Получим следующую таблицу.

Для любого числа n можно доказать, что эта видоизмененная операция сложения будет групповой операцией на множестве {[0], [1], [2] ...[n — 1]}. Это циклическая группа порядка n, или группа целых чисел со сложением по модулю n. Она обозначается Z/n.

ЛЕВИ-СТРОСС: Достаточно, господин Вейль. Настало время поговорить о браке!

63

Глава 4 Алгебраические браки

Чаще всего основная трудность для математика, столкнувшегося с прикладной задачей, — понять, о чем идет речь, м перевести исходные данные на собственный язык.

Андре Вейль, из комментариев к полному собранию сочинений

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь, когда вы объяснили мне основы теории групп, посмотрим, как ее можно применить при изучении структур родства. С чего начнем?

ВЕЙЛЬ: Мы начнем с очень простой модели и на ее примере постепенно покажем все принципы, необходимые для решения более общих задач. Допустим, что племя, которое мы изучаем, состоит из четырех кланов, которые, к примеру, могут поклоняться разным богам или контролировать разные территории. Так как структура брака не зависит от названий кланов, обозначим их буквами: А, В, С и D.