Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

f * g * g * f * g

Порядок следования элементов будет произвольным, но так как мы предположили, что композиция f и g коммутативна, мы можем воспользоваться свойством ассоциативности, применить равенство f*g = g*f и попарно объединить элементы так, что все f и все g будут расположены рядом. Пример:

f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f²*g³

Так как этот метод корректен для любого элемента H, мы доказали, что любой элемент Н можно записать в виде fⁿ * g^m, где n и m — неотрицательные целые натуральные числа (они могут равняться нулю). Как правило, из соображений удобства указывают, что и fⁿ, и g^m — нейтральные элементы. Таким образом, когда верхний индекс одного члена обнуляется, результат операции равен степени другого члена.

Вместо fⁿ * g^m мы могли бы записать (fⁿ, g^m), при этом в структуре Н не произошло бы каких-то существенных изменений. Эта операция очень похожа на произведение двух циклических групп, однако члены fⁿ * g^m могут повторяться, даже если

72

порядок f и g будет больше, чем n и m соответственно. Чтобы показать, что Н — это произведение двух циклических групп [6] , нужно выполнить еще несколько действий:

6

1 Заинтересованный читатель найдет полное доказательство в приложении. Чтобы вы могли полностью понять доказательство, рекомендуем сначала прочесть первую часть следующей главы.

Предложение 1. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, является либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп.

Это предложение — частный случай теоремы о структуре конечнопорожденных абелевых групп, по которой такие группы изоморфны прямому произведению

ℤ × ... × ℤ × ℤ/n₁ × ... × ℤ/n_k

где ℤ — группа целых чисел, a ℤ/n₁ ..., ℤ/n_k — циклические группы. Число копий ℤ, приведенных в произведении, называется рангом группы и отлично от нуля тогда и только тогда, когда группа является бесконечной.

ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь рассмотрим наш пример. В нотации, которую вы объяснили в прошлый раз, перестановки f и g записываются так:

Переставим их двумя возможными способами:

Как видите, их композиция коммутативна, следовательно, в нашей структуре с обобщенным обменом любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери.

ВЕЙЛЬ: Так как подгруппа S4, порожденная f и g, является абелевой, она будет либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп. В этом случае расчет

73

показывает, что перестановка f определяется как сочетание g с самой собой (/ =

= g2). Следовательно, мы имеем дело с первой из возможных ситуаций. Быть может, так будет всегда? Вовсе нет: составим пример, в котором подгруппа, порожденная f и g, будет прямым произведением двух циклических групп. Предположим, что допустимы следующие разновидности брака:

(Mt) мужчина А и женщина D

(M₂) мужчина В и женщина С

(M₃) мужчина С и женщина В

(M₄) мужчина D и женщина А

В этом случае кланы А и D, равно как и В и С, обменялись женщинами, следовательно, мы имеем дело с ограниченным обменом. Предположим, что дети матерей из кланов А, В, С и D принадлежат к кланам В, A, D и С соответственно. Мы можем определить функции f и g прежним образом:

Обратите внимание, что f — та же перестановка, что и в предыдущем примере, а перестановка g изменилась. Но и в этом случае их композиция коммутативна: 11

Отличие от предыдущего примера заключается в том, что теперь и f, и g являются элементами второго порядка (убедитесь в этом), следовательно, ни один из них не может быть степенью другого. Следовательно, подгруппа, порожденная f и g, будет произведением двух циклических групп. Более того, это будет группа Клейна!

ЛЕВИ-СТРОСС: Еще один вопрос, который интересует нас, этнологов, при изучении браков, звучит так: можно ли найти группы людей, которые не связаны

74

отношениями родства между собой? Общество, в котором можно выделить такие группы, называется сократимым. Допустим, что в элементарном племени, состоящем из четырех кланов, ограниченный обмен проводится по следующим правилам:

(Mt) мужчина А и женщина В

(M₂) мужчина В и женщина А

(M₃) мужчина С и женщина D

(M₄) мужчина D и женщина С

Дети принадлежат к тем же кланам, что и их матери. Функции f и g вычисляются как и обычно, однако будет не лишним напомнить, как именно это делается. В браке М₁ жена принадлежит к клану В, следовательно, к этому же клану будут принадлежать и ее дети. Мужчина из клана В вступает в брак по правилу M₂, поэтому f(M₁) = M₂ a g(M₁) = M₁ так как женщины из клана В подчиняются первому правилу. Получим таблицу

Очевидно, что кланы А и В никогда не породнятся с кланами С и D. Следовательно, рассматриваемое общество является сократимым. В противном случае общество называется несократимым.

ВЕЙЛЬ: Обратите внимание, господин Леви-Стросс, что достаточно рассмотреть несократимые общества, поскольку любое племя можно разделить на несколько несократимых сообществ. Это лишь одно из множества проявлений общего принципа, используемого в самых разных областях математики: если какой-либо объект можно разделить на несколько простых, при этом правила разделения известны, то для анализа всех возможных объектов достаточно изучить эти простые объекты. Представим несократимые общества на языке теории групп. Общество является несократимым тогда и только тогда, когда две любые разновидности брака связаны между собой перестановками f и g, то есть если одну из них можно получить из другой посредством этих перестановок. Не будем забывать, что f и g позволяют восстановить все генеалогическое древо! Очевидно, что это свойство в вашем примере не выполняется: применив f и g к М₁ мы можем получить только М₁ и М₂

Тем не менее два первых общества являются несократимыми. Напомним таблицу, которую мы привели в самом начале:

75

Докажем, что на основе брака Мх можно получить все остальные. В самом деле, применив f и g, получим M₃ и M₂ соответственно. Если же мы применим сначала f, а затем g, то получим M₄ в силу равенства g(f(M₁)) = g(M₃) = M₄. Осталось показать, как можно получить М₁. Один из возможных вариантов — дважды применить f, так как f²(M₁) = f(M₃) = М₁. Вот и все! Следовательно, рассматриваемое общество является несократимым.

ЛЕВИ-СТРОСС: Постойте, разве не нужно доказать это же утверждение, взяв за основу M₂, М₃ и M₄ вместо М₁?

ВЕЙЛЬ: На самом деле этого не требуется, и сейчас я объясню, почему. Мы знаем, что из Мх можно вывести все возможные разновидности брака. Допустим, что мы хотим вывести все разновидности брака из какого-либо другого M_i. Обозначим через h элемент подгруппы, порожденной f и g, который позволяет перейти от М₁ к M_i, то есть такой элемент, для которого выполняется условие h(M₁) = M_i.