Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

Введение

Прежде чем приступить к изучению диофантовых уравнений, проясним некоторые понятия. Так как в моих заметках упоминаются различные классы чисел, скажем о них несколько слов. С одной стороны, существуют натуральные числа, которые используются при счете: 1, 2, 3... (к ним также иногда относят ноль). Для двух любых натуральных чисел определена операция сложения, однако она не может быть групповой: чтобы существовали обратные элементы, необходимо также рассмотреть отрицательные числа. Добавив отрицательные числа к натуральным, получим абелеву группу целых чисел: 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3. В действительности на этой структуре определена не одна, а сразу две операции: мы можем не только складывать целые числа, но и перемножать их. Операция умножения ненулевых целых чисел также не является групповой. Так, чтобы, к примеру, элемент 2 имел обратный, необходимо рассмотреть число 1/2. Чтобы устранить этот недостаток, необходимо рассмотреть все дроби вида а/b (где а и b целые числа, b отлично от нуля), которые образуют множество рациональных чисел. Каждому из них мы можем поставить в соответствие периодическую десятичную дробь: к примеру, для 1/3 такой дробью будет 0,3333..., для 2/11 — 0,181818... Если мы будем рассматривать только периодические дроби, то такие простые уравнения, как х² = 2, не будут иметь решения, поскольку десятичная запись квадратного корня из 2 — непериодическая дробь.

88

Такие числа называются иррациональными. Чтобы получить еще больше решений, мы можем рассмотреть все десятичные дроби, в записи которых отсутствуют какиелибо закономерности. Такие числа называются вещественными.

Но вернемся к натуральным числам, которые Кронекер называл божьим творением. Для двух натуральных чисел m и n, m называется делителем n, если результат деления n на m — натуральное число. К примеру, 2 — делитель 10, так как 10 при делении на 2 дает 5 — натуральное число; 2 не является делителем 15, так как 15 при делении на 2 дает 7,5 — «некруглое» число. Если n делится на m, то существует натуральное число k такое, что n будет произведением m и k: n = m · k. Обратите внимание, что делители числа всегда меньше либо равны ему, и любое число делится на единицу и само себя. В некоторых случаях число делится только на единицу и само себя — такие числа называются простыми. Так, 5 — простое число, так как ни 2, ни 3, ни 4 не являются его делителями, а 6 не является простым, так как делится на 2 и на 3. Первые простые числа — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Можно доказать, что простых чисел бесконечно много.

Простые числа составляют основу всей арифметики: через них определяются все остальные числа. В самом деле, если n не является простым, то на интервале от 1 до n найдется натуральное число, которое будет его делителем. Таким образом, n можно представить в виде n = а · b. К примеру, если исходное число равно 30, имеем 30 = 2 · 15. Мы получили два числа а и b, для которых можем повторить описанные действия еще раз. Если оба этих числа простые, процесс заканчивается.

Если же какое-то из этих чисел не является простым, мы вновь запишем его в виде произведения двух множителей. В нашем примере 2 является простым, а 15 можно представить как произведение 3 и 5. Имеем 30 = 2 · 3 * 5. Так как 2, 3 и 5 — простые числа, процесс завершен. В общем случае на каждом шаге мы либо находим простой сомножитель, либо представляем число как произведение двух меньших чисел, поэтому описанный нами процесс рано или поздно обязательно завершится.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно представить в виде произведения простых множителей.

Хотя доказать основную теорему арифметики нетрудно, задача о разложении числа на простые множители на практике может оказаться неразрешимой.

89

К примеру, если n представляет собой произведение двух простых чисел р и q приблизительно из 400 знаков каждое, то для разложения n на простые множители даже самым мощным компьютерам потребуется время, сравнимое с возрастом Вселенной. Как вы увидите далее, это один из основных принципов криптографического алгоритма RSA, обеспечивающего безопасность всех наших компьютерных транзакций.

Введем новое понятие: для двух натуральных чисел m и n будем называть наибольшим общим делителем наибольшее натуральное число, на которое делятся одновременно m и n. Обозначим его НОД (m, n). Если нам известны разложения m и n на простые множители, найти НОД очень просто: нужно взять простые числа, которые содержатся в обоих разложениях, возведенные в наименьшую степень. Допустим, что мы хотим найти НОД 50 = 2 · 5² и 120 = 2³ · 3 · 5. Общие делители этих чисел — 2 и 5. В первом случае они возведены в степени 3 и 1, во втором — в степени 1 и 2.

Таким образом, НОД будет равен 2¹ · 5¹ = 10. Задача о разложении числа на простые множители на практике оказывается неразрешимой, поэтому для очень больших m и n описанный метод неприменим. К счастью, существует еще один метод расчета наибольшего общего делителя, который называется алгоритмом Евклида. Допустим, что m больше n. На первом шаге разделим m на n. Возможны два случая: если остаток от деления равен 0, то n — делитель m, следовательно, n — искомый НОД. В противном случае повторим деление, заменив m на n, а n — на остаток от деления r. Можно доказать, что наибольший общий делитель m и n совпадает с наибольшим общим делителем n и r [8] .

8

1 Докажем это! Пусть d = НОД (m, n). Допустим, что результат деления m на n равен f, остаток равен r, то есть m = л/ + r. Заметим, что r делится на d. В самом деле, по определению существуют числа р и q такие, что m = dp и n = dq. Подставив эти выражения в первое равенство, получим: r = m — nt = dp — dqt = d (p — qt), следовательно, r делится на d. Чтобы показать, что НОД (n, r) = d, достаточно доказать, что эти два числа не могут иметь общий делитель, больший d. Это вновь следует из формулы m = nt + r: если бы такой делитель существовал, он также был бы делителем m, следовательно, был бы общим делителем m и n, большим d, но d — наибольший общий делитель по определению.

Вернемся к нашему примеру: остаток от деления 120 на 50 равен 20, следовательно, на следующем шаге алгоритм нужно повторить для 50 и 20. Остаток от деления 50 на 20 равен 10, поэтому на следующем шаге рассмотрим 20 и 10. На этот раз первое число делится на второе без остатка, таким образом, НОД равен 10. Более того, алгоритм Евклида позволяет получить некоторую дополнительную информацию: если мы рассмотрим последний ненулевой остаток от деления, то сможем записать 10 = 50 — 2·20. Сделаем еще один шаг назад и получим, что 20 = 120 — 2 · 50. Если теперь мы подставим это выражение в первое равенство, то получим отношение с целыми коэффициентами, связывающее

10 = 50-2-(120-2·50) = 5·50-2·120.

90

В общем случае алгоритм Евклида позволяет не только эффективно вычислить наибольший общий делитель чисел, но также показать следующее:

Предложение. Пусть m и n — два натуральных числа. Обозначим их наибольший общий делитель через d. Тогда существуют два целых числа u и v такие, что d = mu + nv.

Особенно интересен случай, когда m и n не имеют общих делителей. Тогда их наибольший общий делитель равен 1, а m и n называются взаимно простыми. Согласно приведенному выше предложению, существуют два целых числа u и v такие, что mu + nv = 1. Это соотношение называется соотношением Безу.

Еще одно фундаментальное свойство делимости чисел звучит так: если число а — делитель произведения bс, и нам известно, что а и b — взаимно простые, то а обязательно будет делителем с. В самом деле, в противном случае один из простых делителей а также будет делителем b, и эти числа не будут взаимно простыми.

С другой стороны, если d — наибольший общий делитель а и b, то существуют два целых числа р и q такие, что а = dp, b = dq. Это утверждение выполняется для любых общих делителей, но так как d — НОД, можно утверждать, что р и q взаимно простые — в противном случае а и b имели бы общий делитель, больший d.

Линейные уравнения

Теперь мы знаем все, что нужно для решения диофантовых уравнений вида ах + by = с,

где а, b и c — произвольные целые числа. Чтобы решить это уравнение, нужно найти все пары целых чисел (х, у), которые удовлетворяют соотношению ах + by = с.

Посмотрим, как это сделать. Обозначим через d наибольший общий делитель а и b. По определению а и b делятся на d, следовательно, выражение ах + by также будет делиться на d. Так как согласно исходному уравнению ах + by = с, число d также должно быть делителем с. Следовательно, если с не делится на d, то уравнение не имеет решений. Так, решений не имеет уравнение 50х + 120у = 7. Мы уже показали, что наибольший общий делитель 50 и 120 равен 10, а 7 не делится на 10.

Далее будем предполагать, что с делится на d.

Тогда мы можем записать а = dp, b = dq и с = dr, где р и q — взаимно простые.

Сначала рассмотрим случай с = 0, то есть однородное уравнение ах + by = 0.

91

Разделив на d первый член уравнения, получим следующее: достаточно решить уравнение рх + qy = 0, или, что аналогично, рх = —qy. Будем рассуждать следующим образом: так как рх равно — qy, qy должно делиться на р. Однако р и q взаимно простые, следовательно, остается единственный вариант: у делится на р, то есть существует целое число Λ такое, что у = Λр. Аналогично доказывается, что х делится на q, поэтому существует другое целое число μ такое, что х = μq. Подставив значения х и у в уравнение, получим: μpq = —Λpq, то есть μ = —Λ, так как pq отлично от нуля. Следовательно, решениями уравнения ах + by = 0 будет пара чисел (q, —р) и всех кратных им чисел (Λq, —Λр).