Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Базельская задача подводит нас к дзета-функции — объекту, с которым мы имеем дело в Гипотезе Римана. Но прежде чем мы сможем познакомиться с дзета-функцией, надо вспомнить кое-что из математических основ: степени, корни и логарифмы.
Степени — это прежде всего повторяющееся умножение. Число 12 3— это 12x12x12, где перемножаются три сомножителя, а 12 5— это 12x12x12x12x12, где сомножителей пять. Что получится, если умножить 12 3на 12 5? Это будет (12x12x12)x(12x12x12x12x12), что, конечно, составляет 12 8. Надо просто сложить степени: 3 + 5 = 8. В этом и состоит первое великое правило действий со степенями.
x mxx n = x m + n.
(Давайте
Что будет, если разделить 12 5на 12 3? То есть вычислить (12x12x12x12x12)/(12x12x12). Можно сократить три множителя 12 сверху и снизу, и в результате останется 12x12, т.е. 12 2. Как видно, это все равно что вычесть степени.
x m: x n = x m - n.
А теперь возведем 12 5в куб: (12x12x12x12x12)x(12x12x12x12x12)x(12x12x12x12x12) дает 12 15. На этот раз степени перемножаются.
(x n) m= x mn.
Таковы три самых важных правила, которые говорят нам, как обращаться со степенями. В дальнейшем мы будем ссылаться на них как на «правила действий со степенями» без дополнительных объяснений. Однако это пока не все правила. Нам потребуется еще несколько, потому что до сих пор у нас были степени, выражаемые положительными целыми числами. А как обстоит дело с отрицательными и дробными степенями? А со степенью нуль?
Начав с последнего, заметим, что если x 0вообще что-нибудь будет означать, то хорошо бы добиться согласованности с теми правилами, которые у нас уже есть, потому что они являются прямым выражением здравого смысла. Возьмем во 2-м правиле nравным m.Тогда в правой части, как видно, получится x 0. А в левой части будет x m: x m.Но когда число делится само на себя, получается единица.
x 0= 1 для всякого положительного числа x.
2-е правило можно использовать и для того, чтобы придать смысл отрицательным степеням. Разделим 12 3на 12 5. Согласно 2-му правилу, ответ должен быть равен 12 – 2. Но при этом он равен и (12x12x12)/(12x12x12x12x12), что после сокращения трех множителей 12 в числителе и знаменателе даст 1/12 2.
x – n=1 /x n(в частности, x – 1= 1/ x).
3-е правило наводит нас на мысль о том, что же должны означать дробные степени. Как можно поступить с величиной x 1/3? Например, возвести ее в куб, тогда по 3-му правилу должно получиться просто x. Значит, x 1/3есть просто кубический корень из x. (Определение «кубического корня из x»: это число, куб которого равен x). 3-е правило теперь говорит нам, какой смысл имеет всякая дробная степень; x 2/3— это кубический корень из x, возведенный в квадрат (или, что одно и то же, кубический корень из x 2).
х m/nесть корень n-й степени из х m.
Поскольку 12 — это 3x4, получаем, что 12 5равно (3x4)x(3x4)x(3x4)x(3x4)x(3x4). Это можно переписать как (3x3x3x3x3)x(4x4x4x4x4). Короче говоря: 12 5= 3 5x4 5.
Такое верно и в общем случае:(xxy) n = x nxy n.
А что насчет возведения xв иррациональную степень? Что могло бы означать 12 2, или 12 , или 12 e ? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к 2. Она выглядела так: 1/ 1, 3/ 2, 7/ 5, 17/ 12, 41/ 29, 99/ 70, 239/ 169, 577/ 408, 1393/ 985, 3363/ 2378, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к 2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12 1равно просто 12, а 12 3/2— это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 12 7/5— это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 12 17/12равно 33,794038815…, 12 41/29равно 33,553590738…, 12 99/70равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к 2, очень похоже на правду, что 12 2= 33,588665890….
Итак, задавшись положительным числом x, можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций x aдля различных чисел aв интервале от -2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х 0, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x— то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента xзначение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x 2, x 3, x 8, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x 0,5.
Рисунок 5.1.Степенные функции x aдля различных чисел a.
Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12x5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12x5 1/ 2где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 12 5совсем легко, это кратное умножение: 12x12x12x12x12. Чтобы справиться с
Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины Pчерез Q. Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Qчерез P. И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = axb,то a = x:bи b = x:a.Деление полностью решает проблему обращения умножения.