Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Аналогия нарушается, потому что axbвсегда и без единого исключения равно axb, но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что a b = b a(единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих aи b— это 2 4= 4 2). Например, 10 2есть 100, но 2 10есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = a b, то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить aчерез xи bи, отдельно, способ выразить bчерез xи a.Первое — не проблема. Возведем обе части в степень 1/ bи
Здесь-то и появляются логарифмы. Ответ таков: bесть логарифм xпо основанию a.Это просто-напросто определение логарифма. Логарифм числа xпо основанию a(обычно записываемый как log a x) определяется как такое число b, для которого верно равенство x = a b.Это дает целое семейство логарифмических функций: логарифм xпо основанию 2, логарифм xпо основанию 10 (который более старшие читатели могут припомнить в качестве облегчающего вычисления средства, — его проходили в старших классах школы примерно до 1980 года) и т.д. Можно было бы представить их все в виде графиков, как это сделано для графиков функций х 0на рисунке 5.1 .
Я не буду этого делать, потому что мне глубоко безразличны все члены логарифмического семейства, кроме одного — логарифма по основанию e, где e— необычайно важное, хотя и иррациональное число 2,71828182845…. Логарифм по основанию e— единственный, который меня интересует, и единственный, которым мы будем пользоваться в этой книге. На самом деле я больше не буду говорить «логарифм по основанию e», а буду говорить просто «логарифм». [37] Так что же такое логарифм числа x? По данному выше определению, это такое число b, для которого делается верным равенство x = e b.
37
log ex =ln x. (Примеч. перев.)
Поскольку ln x— это такое число b, для которого верно равенство x = e b, ясно, что x = e ln x. Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln x. Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.
x = e ln x.
Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,718281 1,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это еще одна вещь, по поводу которой я оставляю за собой право потом передумать). И нуль также не имеет логарифма. Не существует такой степени, в которую можно было бы возвести в, чтобы получить отрицательный или нулевой результат. Область определения логарифма составляют все положительные числа.
Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.
Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график [38] функции ln xдля аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.
38
Если форма кривой кажется странно знакомой, то это потому, что сложение друг с другом Nчленов гармонического ряда (глава 1.iii) дает число, близкое к ln N.В действительности:
1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ … + 1/ N ~ ln N,и
профиль той едва держащейся колоды карт, если его повернуть на 90 градусов и отразить в зеркале, и есть график функции ln x.Рисунок 5.2.Логарифмическая функция.
Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).
Это следует из определения ln xи из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если aи b— любые два положительных числа, то axb = e ln a xe ln b. Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем axb= e ln a + ln b. Однако axb— само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем axb= e ln (axb). Мы получили два различных выражения для axb. Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.
ln (axb) =ln a +ln b.
Это потрясающая штука. Она означает, что, когда мы сталкиваемся со сложной задачей на умножение, «взятие логарифмов» (т.е. применение того принципа, что из равенства P= Qследует равенство ln P= ln Q) позволяет свести ее к задаче на сложение, которая может оказаться проще. Звучит это почти банально, и тем не менее именно этот нехитрый приемчик понадобится нам в главе 19.v для того, чтобы повернуть Золотой Ключ.
Из того, что ln (axb) =ln a +ln b, следует, что ln (axaxax…) =ln a +ln a +ln a + …. И это дает последнее правило действий со степенями.
ln (a N) = Nxln a.
Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а,включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln (1/a) =– ln a, поскольку 1/ аесть не что иное, как a – 1. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln 1/ 3= -1,09861228866…. Вот почему график функции ln xпроваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как xделается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.
Как мы видим, ln x— медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln xвозрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln xрастет медленнее, чем любая степень буквы x. На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x», вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х 2или х 3, а степени типа х 0, 1.