Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций x ^aдля малых значений a. Там выбраны a= 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a, тем более плоским делается график функции x ^a.А кроме того, для тех a, которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/ e, что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln x, пересекает кривую x ^aдо того, как уйти достаточно далеко на восток.

Рисунок 5.3.Функции x ^aпри малых положительных a.

Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln xрано или поздно окажется более плоским, чем график x ^a. Если абольше чем 1/ e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же aменьше чем 1/ e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln x сновапересекает кривую x ^a, после чего уже навсегда остается ниже нее.

Разумеется, путешествие может оказаться неблизким. Кривая ln xповторно пересекает кривую x ^0,3чуть к востоку от точки x = 379; она повторно пересекает кривую x ^0,1только после того, как пройдет через точку x = 332 105; и она повторно пересекает кривую x ^0,001только после прохождения точки x= 3 430 631 121 407 801. Если бы мы нарисовали график функции xв степени одна триллионная (т.е. x ^{0,000000000001}), то она выглядела бы до безобразия плоской. Настолько, что ее нелегко было бы отличить от функции «остановки сердца», которая имеет высоту 1 над осью x, — ничего похожего на изящно восходящую кривую логарифмической функции. Логарифмическая кривая пересекла бы ее на малюсеньком расстоянии к востоку от e. И однако же степенная функция растет, хотя и чрезвычайно медленно, в то время как логарифмическая функция постепенно становится все более пологой. Рано или поздно они снова пересекутся, и тогда уже логарифмическая кривая навеки останется под кривой x ^{0,000000000001}. Точка пересечения в этом случае наступит при таком большом аргументе, что я не могу его здесь записать: это число начинается как 44 556 503 846 304 183… и содержит еще 13 492 301 733 606 цифр.

Картина такова, как будто ln xстарается быть функцией x ⁰. Конечно, это не x ⁰: для любого положительного числа выражение x ⁰определяется равным числу 1, согласно 4-му правилу, и соответствующий график, как мы видели, — это «остановка сердца». Но хотя функция ln xи не есть x ⁰, она умудряется при достаточно больших xподнырнуть под функцию x со сколь угодно малым и оставаться там уже навсегда. [39]

39

Замечание: математики по соглашению используют букву (это эпсилон, пятая буква греческого алфавита) для обозначения «некоторого очень маленького числа».

В действительности дело обстоит даже еще более странным образом. Рассмотрим утверждение: «функция ln xрано или поздно будет расти медленнее, чем x ^0,001, и x ^0,000001, и x ^0,000000001, и …» Представим себе, что мы возвели все это утверждениев некоторую степень — скажем, в сотую. (Это, надо признать, не очень строгая математическая операция, но она приводит к верному результату.) После применения 3-го правила утверждение будет выглядеть так: «функция (ln x) ¹⁰⁰рано или поздно будет расти медленнее, чем x ^0,1, и x ^0,0001, и x ^0,0000001, и …». Другими словами, если логарифм растет медленнее, чем любая степень буквы x, то это же верно и для любой степени функцииln x. Каждая из функций (ln x) ², (ln x) ³, (ln x) ⁴, …, (ln x) ¹⁰⁰, … растет медленнее, чем любая степень x. Независимо оттого, сколь велико Nи сколь мало , график функции (ln x) ^N в конце концов поднырнет под график функции x и останется там, внизу.

Такое нелегко себе представить. Функции (ln x) ^N растут быстро — и даже оченьбыстро. И тем не менее, если на рисунке 5.3 отойти достаточно далеко на восток, то рано или поздно, при некотором впечатляюще большом аргументе, каждая из них опустится ниже кривой x ^0,3, x ^0,2, x ^0,1и вообще любой кривой из этого семейства, какую вы только потрудитесь нарисовать. Придется отправиться на восток в окрестность точки x= 7,9414 x10 ³⁹⁵⁹, прежде чем (ln x) ¹⁰⁰опустится ниже, чем x ^0,3; и однако же это случится.

V.

Кое-что из сказанного понадобится нам прямо сейчас, а кое-что останется на потом. Но все сказанное важно для понимания Гипотезы Римана, и я призываю вас проконтролировать некоторые основные моменты — проверить, как вы их понимаете, прежде чем двигаться дальше. Для этого сгодится карманный калькулятор. Можете, например, найти ln 2 (он равен 0,693147…) и ln 3 (равный 1,098612…) и удостовериться, что при сложении их действительно получается ln 6 (равный 1,791759…). Но только обратите, пожалуйста, внимание, что (как я уже упоминал) прежде использовались логарифмы по основанию 10, так что клавиша «log» на многих карманных калькуляторах вычисляет именно десятичные логарифмы. Тот единственный логарифм, который нас здесь интересует, — логарифм по основанию e— на калькуляторе, как правило, вычисляется с помощью альтернативной клавиши, помеченной ln x. Вот эта клавиша вам и нужна. (Буква nуказывает на «натуральный» логарифм; логарифм по основанию eпо всем правилам называется «натуральный логарифм».)

Ну а теперь вернемся к базельской задаче.

VI.

Эйлерово решение базельской задачи прекрасно иллюстрирует сделанное в разделе I этой главы замечание, что поиск решений в замкнутом виде расширяет понимание, позволяя проникнуть в суть вещей. Эйлерово решение дало не только замкнутое выражение для ряда из обратных квадратов, но в качестве побочного продукта еще и замкнутые выражения для рядов

,

и т.д. Для четных Nрезультат Эйлера дает в замкнутом виде точное значение для следующего бесконечного ряда (5.1):

Когда Nравно двум, ряд сходится к ²/6, как уже было сказано; когда Nравно 4, ряд сходится к ⁴/90; когда Nравно 6, ряд сходится к ⁶/945 и т.д. Метод Эйлера дает ответ для каждого четного N.В более поздней публикации он сам добрался до N= 26, когда ряд сходится к числу 1 315 862 ²⁶/11 094 481 976 030 578 125.

А что, если Nнечетное? Полученный Эйлером результат ничего про это не говорит. Как не говорит и ни один другой результат, полученный за последующие 260 лет. Нет никаких идей относительно замкнутого выражения (если таковое вообще существует) ни для

, ни для аналогичного ряда при других нечетных показателях степени. Никто не смог найти замкнутое выражение для этих рядов. Мы знаем, что они сходятся, и можем, конечно, методом грубой силы вычислить их значение с любой требуемой точностью. Мы просто не знаем, что они означают. Только в 1978 году было доказано, что ряд

определяет иррациональное число. [40]

40

Доказательство принадлежит греко-французскому математику Роже Апери, которому в тот момент исполнился 61 год — это по поводу мнения, что математики никогда ничего не создают после тридцатилетнего возраста. В честь этого достижения сумма — которая в действительности равна 1,2020569031595942854… — стала известна как «число Апери». Оно имеет некоторые приложения в теории чисел. Случайным образом выберем три положительных целых числа. Какова вероятность, что у них нет общего делителя? Ответ: около 83 процентов, точнее, 0,83190737258070746868… — число, обратное числу Апери.

Итак, к середине XVIII века немало математиков задумывались над бесконечным рядом из выражения (5.1) . Точные значения — замкнутый вид — были известны для всех четных чисел N, тогда как для нечетных можно было получать приближенные значения, беря сумму достаточного числа членов. Не будем забывать, что, когда Nравно 1, соответствующий ряд становится просто гармоническим рядом, который расходится. В таблице 5.1 приведены значения выражения (5.1) (которое, напомним, есть

) с точностью до 12 знаков после запятой.