Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Можно, конечно, и именно так и делается. Если пожелать возвести -4 + 7 iв степень 2 - 3 i, то надо сначала вычислить логарифм числа -4 + 7 i, который оказывается равным примерно 2,08719 + 2,08994 i. Затем надо умножить это на 2 - 3 i, что даст 10,4442 - 2,08169 i. И теперь возвести число eв эту степень, что и даст окончательный результат -16793,46 - 29959,40 i. Итак,

(-4 + 7 i) ^{2 - 3 i}= -16793,46 - 29959,40 i.

Ничего сложного! Еще пример: поскольку -1 = e ⁱ, извлечение квадратного корня из обеих частей даст i= e ^i/2. И если теперь возвести обе части в степень i, то, снова пользуясь 3-м правилом действий со степенями, получим i ⁱ= e ^{– /2}. Заметим, что это вещественное число, равное 0,2078795763….

Поскольку можно возводить любое комплексное число в любую комплексную степень, несложным должно оказаться возведение вещественногочисла в комплексную степень. Следовательно, для заданного комплексного числа zможно вычислить 2 ^z , 3 ^z , 4 ^z и т.д. Понятно, к чему идет дело. Можно ли расширить область определения дзета-функции

в мир комплексных чисел? Можно, конечно. С комплексными числами, доложу вам, можно делать что угодно.

III.

Поскольку формула для дзета-функции остается бесконечной суммой, возникает вопрос о сходимости. Оказывается, что сумма сходится для любого комплексного числа, вещественная часть которого больше единицы. Математики скажут «в полуплоскости Re( s) > 1», где Re( s) используется для обозначения вещественной части числа s.

Но, как и в случае с дзета-функцией вещественных аргументов, для расширения области определения в те области, где бесконечная сумма не сходится, можно применить некоторые математические уловки. В результате получается полная дзета-функция, область определения которой составляют все комплексные числа за единственным исключением числа s = 1. Там, как мы еще в самом начале убедились при помощи колоды карт (см. главу 1), у дзета-функции нет значения. Везде, кроме этой точки, она имеет единственным образом определенное значение. Имеются, конечно, и такие места, где это значение нулевое. Это мы и раньше знали. Графики из главы 9.iv показывают, что дзета-функция принимает равное нулю значение для всех отрицательных четных чисел -2, -4, -8, …. Мы на них не останавливаемся, потому что, как уже было замечено, они не слишком важны. Это тривиальные нули дзета-функции. Могло ли бы так случиться, что значение дзета-функции равно нулю при некоторых комплексных аргументах? И что, это и будут нетривиальные нули, упоминаемые в Гипотезе? Делайте ваши ставки; но я несколько забежал вперед в нашей истории.

IV.

Сорок лет назад блестящий, но эксцентричный Теодор Эстерман [112] написал учебник, озаглавленный «Комплексные числа и функции», в котором содержались всего два рисунка. «Я <… > избежал всякого обращения к геометрической интуиции», — объявлял автор в предисловии. Известно некоторое число родственных ему душ, однако большая часть математиков не следует подходу Эстермана. Они трактуют теорию функций комплексной переменной в высшей степени визуально. Многие из нас полагают, что функции комплексной переменной легче освоить, пользуясь некоторыми наглядными образами.

112

Эстерман (1902-1991) оставил свой след в математике, доказав в 1929 г., что гипотеза Гольдбаха, согласно которой любое четное число большее 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел, верна почти всегда. Он также был творцов доказательства иррациональности числа 2, приведенного в примечании [18]в главе 3, — «первого нового доказательства после Пифагора», как он любил похвастаться.

Но как же можно наглядно представить себе функцию комплексной переменной? Возьмем простейшую нетривиальную функцию комплексной переменной — функцию возведения в квадрат. Есть ли какой-нибудь способ узнать, на что она похожа?

Скажем сразу: от обычных графиков толку здесь немного. В мире вещественных чисел можно изобразить функцию на графике таким образом: проводим прямую, изображающую аргументы (как мы помним, вещественные числа живут на прямой); затем проводим другую прямую под прямым углом к первой и используем ее для значений функции. Чтобы выразить тот факт, что данная функция превращает число xв число y, двигаемся на восток от нулевого аргумента на расстояние x(на запад, если xотрицательно), а затем на север от нулевого значения на расстояние y(на юг, если yотрицательно). Отмечаем там точку. Повторяем такое для стольких значений функции, сколько нам не лень вычислить. Это и дает график функции. На рисунке 13.1 приведен пример.

Рисунок 13.1.Функция x ².

Однако это не годится для функций комплексной переменной. Аргументам требуется двумерная плоскость, чтобы на ней расположиться, а значениям функции нужна еще одна двумерная плоскость. Так что для графика требуются четыре пространственных измерения: два для аргументов и два для значений функции. (В четырехмерном пространстве, хотите верьте, хотите нет, две двумерные плоскости могут пересекаться в единственной точке. Это можно сравнить с тем фактом — совершенно недоступным для понимания обитателей двумерной вселенной, — что в трехмерии две непараллельные прямые не обязаны пересекаться.)

Это разочаровывает; но в качестве компенсации имеется кое-что, что можноделать для создания картинок, представляющих функции комплексной переменной. Вспомним то главное, что надо знать про функцию: она превращает одно число (аргумент) в другое (значение). Так вот, число-аргумент представляет собой точку где-то на комплексной плоскости, а значение функции представляет собой некоторую другую точку. Таким образом, функция комплексной переменной отправляет все точки из своей области определения в другие точки. Можно выбрать какие-то точки и посмотреть, куда они отправляются.

На рисунке 13.2, например, показаны числа, образующие стороны некоторого квадрата на комплексной плоскости. Углы отмены буквами a, b, cи d. Это в действительности комплексные числа -0,2 + 1,2 i, 0,8 + 1,2 i, 0,8 + 2,2 iи -0,2 + 2,2 i.

Рисунок 13.2.Функция z ², примененная к квадрату.

Что с ними произойдет при применении функции возведения в квадрат? Если умножить число -0,2 + 1,2 iсамо на себя, то получится -1,4 - 0,48 i; значит, таково значение функции для точки a. Возведение в квадрат чисел, соответствующих точкам b, cи d, дает значения для всех остальных углов; эти значения отмечены как A, B, Cи D. Если повторить это для всех точек вдоль сторон квадрата, а также для точек, образующих сетку внутри него, получится искаженный квадрат, также изображенный на рисунке 13.2 .

V.

При работе с функциями комплексной переменной полезно думать о комплексной плоскости как о бесконечно растяжимом резиновом листе, при этом спрашивая себя, что же функция делает с этим листом. По числам, выбранным на рисунке 13.2 , можно видеть, что функция возведения в квадрат растягивает лист, закручивая его против часовой стрелки вокруг нулевой точки и одновременно вытягивая наружу. Число 2 i, например, которое само по себе живет на положительной (северной) части мнимой оси, при возведении в квадрат отправляется в число -4, расположенное на отрицательной (западной) части вещественной оси, причем вдвое дальше от нулевой точки. В свою очередь -4 при возведении в квадрат растягивается до 16 (еще дальше от нуля) и попадает на положительную (восточную) часть вещественной оси. По правилу знаков число -2 i, находящееся на отрицательной (южной) части мнимой оси, «докручивается» до числа -4. На самом деле, согласно правилу знаков, всякое [113] значение функции возведения в квадрат встречается дважды, возникая при двух аргументах: не будем забывать, что -4 есть квадрат не только числа 2 i, но и числа -2 i.

113

Кроме нулевого. (Примеч. перев.)