Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Несмотря на свое соответствие традиционному представлению о сотруднике колледжа — он не был женат и жил в одной и той же квартире в Тринити-колледже в течение 65 лет, с 1912 по 1977 год, — у Литлвуда было по крайней мере двое детей. Как рассказывает его коллега Бела Боллобаш, в свои молодые годы Литлвуд обычно раз в год ездил в отпуск в Корнуолл, где останавливался в семье доктора. Дети в этой семье выросли, называя его «дядя Джон». Об одной из девочек — ее звали Энн — Литлвуд говорил как о своей племяннице. Но когда Литлвуд сделался близким другом семьи Боллобаш, он признался, что Энн была на самом деле его дочерью. Боллобаш с женой стали убеждать его, чтобы он перестал называть ее племянницей и начал говорить «моя дочь». Однажды вечером в профессорской он так и сделал — и испытал немалое разочарование, когда никто из его коллег не выказал ни малейшего удивления. Позднее, после смерти Литлвуда в 1977 году, в Тринити-колледже появился мужчина средних лет, интересовавшийся личными вещами покойного, объясняя при этом, что он его сын.

IV.

В 1910-х и и 1920-х годах сочетание «Харди и Литлвуд» стало настолько часто встречаться в качестве авторов математических статей, что ходили шутки, будто Литлвуд был вымышленной фигурой, которую придумал Харди, чтобы сваливать на него все ошибки. Говорят, что один немецкий математик пересек Ла-Манш только лишь для того, чтобы утвердиться в своем убеждении, что Литлвуда не существует.

Этим математиком был Эдмунд Ландау; он был на семь дней младше Харди. Ландау был феноменом, который встречается не так часто: выходец из богатой семьи, он тем не менее выбрал совершенно не прибыльную сферу деятельности и добился в ней больших успехов — придерживаясь при этом высочайших стандартов трудовой этики. Его мать Йоханна, урожденная Якоби, происходила из богатой семьи банкиров, а отец был успешным профессором гинекологии в Берлине, имевшим прекрасную практику. Кроме того, Ландау-старший активно поддерживал идеи еврейского движения. Их дом располагался в наиболее фешенебельном берлинском квартале по адресу Pariser Platz 6а, недалеко от Бранденбургских ворот. Эдмунд Ландау стал профессором в Геттингене в 1909 году. Когда люди спрашивали, как найти дорогу к его дому, он отвечал: «Вы его не пропустите. Это самый элегантный дом в городе». Как и отец (и как Жак Адамар), он проявлял интерес к сионизму, способствовал организации Еврейского университета в Иерусалиме и прочитал там (на иврите) первую лекцию по математике вскоре после открытия университета в апреле 1925 года.

Ландау был незаурядной личностью — а это было великое время для незаурядных личностей от математики, — и апокрифов о нем имеется не меньше, чем о Гильберте и Харди. Наверное, самый известный анекдот — его замечание об Эмми Нетер, которая была его коллегой по Геттингену. Нетер была мужеподобна манерами и фигурой. Когда Ландау спросили, не являет ли она собой пример великого математика-женщины, он ответил: «Я твердо заявляю, что Эмми — великий математик; но насчет женственности не поручусь». Его трудовая дисциплина вошла в легенду. Рассказывают, что, когда один из его ассистентов лежал в больнице, поправляясь после серьезной болезни, Ландау забрался по лестнице к окну, которое вело к несчастному, и пропихнул через него толстенную папку с работой. Литлвуд говорил о нем: «Он просто не знал, что такое чувствовать себя усталым». Харди добавляет, что Ландау работал каждый день с семи утра до полуночи.

Ландау был одаренным и увлеченным преподавателем и необычайно продуктивным математиком. Он написал более 250 статей и 7 книг. Его роль в нашей истории определяется первой из них — классическим трудом по теории чисел, опубликованным в 1909 году. Это та книга, о которой говорит Литлвуд в отрывке, приведенном в самом начале этой главы: «Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» Полное название книги было Handbuch der Lehre van der Verteilung der Primzahlen —«Учебник по теории распределения простых чисел». Теоретико-числовики обычно называют ее просто Handbuch. [129] В двух томах этой книги, каждый из которых состоит более чем из 500 страниц, собрано все, что было в тот момент известно о распределении простых чисел; изложение построено с сильным акцентом в сторону аналитической теории чисел. Гипотеза Римана сформулирована на странице 33. Handbuchбыла не первой книгой по аналитической теории чисел — Пауль Бахманн опубликовал такую книгу в 1894 году, — однако очень подробное и систематическое изложение в книге Ландау сделало весь предмет более ясным и привлекательным, и эта книга немедленно стала стандартом в этой области.

129

Хотя на корешке моего экземпляра (первого издания) написано просто Primzahlen.

Мне кажется, что HandbuchЛандау не переводился на английский. Специалист по теории чисел Хью Монтгомери (он будет главным действующим лицом в главе 18) выучил немецкий по мере того, как трудился над чтением Handbuch, держа один палец на раскрытом словаре. Он рассказывает следующее. Первые 50 с чем-то страниц посвящены историческому обзору, разбитому на разделы, каждый из которых озаглавлен по имени великого математика, внесшего главный вклад в данную область: Эвклид, Лежандр, Дирихле и т.д. Последние четыре раздела озаглавлены Hadamard, Von Mangoldt, De la Vall'ee Poussin, Verfasser.На Хью произвел большое впечатление вклад, который внес в науку Verfasser, но он недоумевал, почему же раньше ему не приходились слышать об этом замечательном математике. Лишь некоторое время спустя он узнал, что Verfasser по-немецки означает «автор» (обычные существительные в немецком пишутся с заглавной буквы).

V.

«Все изменилось в мгновение ока с выходом в свет книги Ландау…» И Харди, и Литлвуд наверняка прочитали ее, как только она вышла. Вот слова Харди из некролога Ландау, написанного им (совместно с Хансом Хайльбронном) для Лондонского математического общества:

Handbuch, вероятно, была самой важной из написанных им книг. В ней аналитическая теория чисел впервые представлена не как собрание нескольких прекрасных разрозненных теорем, а как систематическая наука. Появление этой книги изменило сам предмет, до того представлявший собой нетронутый уголок для нескольких безрассудных смельчаков, превратив его в плодороднейшее поле для исследований, каким он и оставался в течение прошедших с тех пор трех десятилетий. Почти по всем рассматриваемым там вопросам сейчас получено новое знание, в силу чего написанное в книге устарело, и в этом-то и состоит ее величайшая роль.

Без сомнения, именно из Handbuchи Харди, и Литлвуд заразились навязчивой идеей Гипотезы Римана. Первые плоды последовали в 1914 году, но не в виде совместной работы, хотя они и сотрудничали в то время, а в виде двух отдельных статей, каждая из которых сыграла значительную роль.

Статья Харди под названием Sur lez z'eros de la fonction (s) de Riemann [130] вышла в Comptes RendusПарижской академии наук. В ней он доказал первый важный результат о распределении нетривиальных нулей.

130

«О нулях функции Римана (s)». Упоминаемая чуть ниже статья Литлвуда: «О распределении простых чисел». (Примеч. перев.)

Результат Харди 1914 года

Бесконечно много нетривиальных нулей дзета-функции удовлетворяют Гипотезе Римана (т.е. имеют вещественную часть одна вторая).

Хотя это и был значительный шаг вперед, для читателя важно понимать, что это не решило вопроса с Гипотезой. Имеется бесконечно много нетривиальных нулей; Харди доказал, что бесконечно много из них имеют вещественную часть одна вторая. Тем самым остаются открытыми три возможности.

• Бесконечно много нулей не имеют вещественную часть одна вторая.

• Лишь конечное число нулей не имеет вещественной части одна вторая.

• Нет нулей, вещественная часть которых не равна одной второй, — утверждение Гипотезы!

Чтобы провести аналогию, рассмотрим следующие утверждения о четных числах, превосходящих двойку, т.е. 4, 6, 8, 10, 12, …

• Бесконечно много этих чисел делится на 3; бесконечно много не делится.

• Бесконечно много из них больше чем 11; только четыре числа не больше.

• Бесконечно много из них представимы в виде суммы двух простых; нет таких, которые не представимы — гипотеза Гольдбаха (которая все еще не доказана на момент написания книги).

Статья Литлвуда, также опубликованная в Comptes RendusПарижской академии наук в том же году, называлась Sur la distribution des nombres premiers. В ней доказан результат столь же тонкий и столь же замечательный, как результат Харди, хотя и относящийся к несколько другому направлению исследований в данной области. Обсуждение этого результата требует небольшой преамбулы.

VI.

Мы уже отмечали, что в начале XX века наблюдалось следующее общее направление мыслей по поводу Гипотезы Римана. Теорема о распределении простых чисел (ТРПЧ) была доказана. С математической точностью было установлено, что действительно (x)~ Li (x) — или, словами, что относительная разность между (x)и Li (x)уменьшается до нуля по мере того, как xделается все больше и больше. Так что же тогда можно утверждать об этой разности — т.е. об остаточном члене? Именно при внимательном рассмотрении остаточного члена математики обратили свои взоры к Гипотезе Римана, поскольку в работе Римана 1859 года для остаточного члена было приведено точное выражение. Как будет показано в должном месте, это выражение включает в себя все нетривиальные нули дзета-функции, так что ключ к пониманию остаточного члена каким-то образом скрыт среди этих нулей.

Чтобы говорить более конкретно, я приведу некоторые реальные значения остаточного члена. В таблице 14.1 «абсолютн.» означает разность Li (x) - (x), а «относит.» означает это же число, отнесенное к (т.е. деленное на) (x).

Таблица 14.1.

Мы видим, что относительная ошибка, без сомнения, уменьшается, стремясь к нулю, как ей и предписывает ТРПЧ. Это происходит потому что, хотя абсолютная ошибка тоже растет, она делает это далеко не так быстро, как (x).