Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

+	0	1	2	3		x	0	1	2	3
0	0	1	2	3	0	0	0	0	0
1	1	2	3	0	1	0	1	2	3
2	2	3	0	1	2	0	2	0	2
3	3	0	1	2	3	0	3	2	1

Рисунок 17.1.Сложение и умножение на циферблате с четырьмя отметками (другими словами, сложение и умножение выполняются по обычным правилам, после чего берутся остатки по модулю 4).

Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4 Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK ₄. [158] ^{4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N.В моих обозначениях оно будет называться CLOCK _N .

158

Clock (англ). — часы. (Примеч. перев.)

Но поле F _Nможно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа pсамого по себе поле F _pвыглядит в точности как CLOCK _p — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F ₄. Видно, что F ₄отличается от CLOCK ₄.

+	0	1	2	3		x	0	1	2	3
0	0	1	2	3	0	0	0	0	0
1	1	0	3	2	1	0	1	2	3
2	2	3	0	1	2	0	2	3	1
3	3	2	1	0	3	0	3	1	2

Рисунок 17.2.Сложение и умножение в конечном поле F ₄.

Всякое поле, конечное или бесконечное, имеет важный параметр — число, называемое характеристикой.Характеристика поля говорит о том, сколько раз надо прибавить единицу к самой себе, чтобы получить нуль. Если 1 + 1 + 1 + … = 0 (где берется Nслагаемых), то характеристика равна N.Понятно, что характеристика поля F ₂равна 2. Чуть менее очевидно, хотя и без труда проверяется с помощью таблицы сложения на рисунке 17.2 , то, что характеристика поля F ₄тоже равна 2. Такие поля, как Q, R, С, в которых никакое прибавление единицы к самой себе какое угодно количество раз никогда не даст в результате нуль, по определению имеют характеристику «нуль». (Вы могли бы подумать, что более логичной будет характеристика «бесконечность», и вы, возможно, правы, но имеются веские причины и для того, чтобы объявить характеристику нулевой.) Можно проверить, что характеристика любого поля есть или нуль, или некоторое простое число.

Поскольку мы имеем дело с алгеброй, элементы полей не обязаны быть числами. Алгебра позволяет работать с математическими объектами любого типа. Рассмотрим все многочлены (полиномиальные функции) любой заданной степени, т.е. все выражения вида ax ⁿ+ bx ^n-1+ cx ^n-2+ …, где a, b, cи т.д. — целые числа. Теперь образуем множество всех рациональных функций, другими словами, функций, являющихся отношением (ratio)двух многочленов. Получим поле. Приведем пример сложения в этом поле:

(Примерно этим и занимаются на уроках алгебры в старших классах.)

Коэффициенты многочленов не обязаны быть целыми. На самом деле можно позабавиться, сделав их элементами из конечного поля, такого как рассмотренное выше поле F ₂. В качестве примера сложения, которое при этом получается, имеем

(При проверке этого равенства надо помнить, что в поле F ₂выполнено 1 + 1 = 0, а потому x + x = 0, x ² – x ² = 0 и т.д.) Это поле будет называться полем рациональных функций над F ₂. В нем, разумеется, бесконечно много элементов; лишь коэффициенты ограничены своей принадлежностью к конечному полю. Таким образом, можно использовать конечное поле для построения бесконечного. Заметим еще, что, поскольку 1 + 1 = 0, это поле имеет характеристику 2. Следовательно, и бесконечные поля могут иметь конечную характеристику.

Не имеет особого смысла спрашивать, что собой представляет xв последних двух примерах. Это символ, для манипуляций с которым у нас имеются строго определенные правила. С алгебраической точки зрения главное в этом и состоит. На самом деле почти наверняка ответ на данный вопрос звучит как « xпредставляет собой число». Однако алгебраисты куда больше интересуются тем, какого типа это число — каким семействам, каким группам, каким полям оно принадлежит и какие правила манипуляций с ним выполнены. Для аналитика же наше число а + b2 не слишком интересно. «Это просто вещественное число», — скажет аналитик. — «Ладно, алгебраическое число» (см. главу 11.ii), — если на него надавить. Но для алгебраиста, однако, оно представляет особый интерес постольку, поскольку относится к некоторому полю. Вообще алгебраисты и аналитики рассматривают не столько разные вещи, сколько аспекты одной и той же вещи. [159] ^{A8}

159

Попытаюсь выразить это в афористичной форме: алгебраистов заботит не столько то, чем являются вещи, сколько то, что с ними можно делать. Они — «отглагольные», а не «отсуществительные» люди. Другой интересный концептуальный взгляд на алгебру предложил сэр Майкл Атья в своей лекции в Филдсовском институте в Торонто в июне 2000 г. Тогда как геометрия с очевидностью имеет дело с пространством (говорил сэр Майкл, лауреат Филдсовской премии), алгебраисты имеют дело с временем. «Геометрия по существу статична. Я могу просто сидеть здесь и наблюдать, при этом может ничего не меняться, но это не мешает мне наблюдать. Алгебра, однако, имеет дело с временем, потому что там имеются операции, которые надлежит выполнять последовательно.» ( Шенитцер А., Атья М.Ф.Математика в двадцатом столетии. American Mathematical Monthly.Vol. 108. № 7.)

III.

Краткий взгляд на размах, мощь и красоту теории алгебраических полей — это все, на что нам здесь хватает места, хотя мы и вернемся ненадолго к полям, рассмотрев их под другим углом зрения в главе 20.v. Я привел здесь этот краткий обзор алгебраических сведений, потому что в 1921 году Артин в своей диссертации, которую он защищал в Лейпцигском университете, применил теорию полей для развития нового подхода к Гипотезе Римана. Соответствующий математический аппарат достаточно серьезен, и я расскажу о нем лишь очень бегло.

Как уже упоминалось в предыдущем разделе, для всякой степени p ^Nпростого числа имеется конечное поле. Мы также видели, как конечное поле можно использовать в качестве основы для построения других полей, в том числе бесконечных. Оказывается, что если начать с конечного поля, то имеется способ таким образом построить эти поля-«расширения», что с ними будет связана некоторая дзета-функция. Под «некоторой дзета-функцией» здесь понимается функция комплексного аргумента, определенная над полем комплексных чисел и по целому ряду своих свойств необъяснимым образом напоминающая дзета-функцию Римана. Например, эти аналоги римановой дзета-функции снабжены своим собственным Золотым Ключом — своей собственной эйлеровой формулой произведения, а также своей собственной Гипотезой Римана. [160]

160

Здесь (как и в ряде других случаев в этой книге и повсеместно в математике в целом) название — скажем, «Гипотеза Римана» или «формула Эйлера», — стандартно используемое в некотором устоявшемся контексте, смело применяется расширительно, причем иногда в контекстах, очень далеких от исходного и таких, о существовании которых ученый, давший свое имя названию, и не подозревал. Когда при этом хотят вернуться к исходной теореме, формуле, гипотезе и так далее, иногда используют эпитет «классическая». (Примеч. перев.)

В 1933 году работавшему в Магдебургском университете в Германии Хельмуту Хассе удалось для определенной категории полей доказать результат, аналогичный Гипотезе Римана. В 1942 году Андре Вейль [161] распространил это доказательство на гораздо более широкий класс объектов, а затем предположил — в знаменитых трех «гипотезах Вейля», — что подобные результаты должны иметь место для еще более широкого класса. В 1973 году бельгийский математик Пьер Делинь получил сенсационное достижение, принесшее ему Филдсовскую премию, — он доказал гипотезы Вейля, тем самым, по существу, завершив программу исследований, начало которой положил Артин.

161

Андре Вейль(Andre Weil), один из наиболее прославленных математиков XX века, был братом героини французского Сопротивления и мистического философа Симоны Вейль. Он учился у Адамара в Коллеж де Франс. Следует отличать его от Германа Вейля (Hermann Weyl). (Исчезновение всякой разницы в написании по-русски, очевидно, лишь усложняет задачу «отличать» — и эта проблема в самом деле присутствует в русских математических текстах. — Примеч. перев.)