Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Сначала возводим 20 в степень ¹/ ₂+ 14,134725 i. В результате получаем точку, которая на рисунке 21.2 помечена как 1 и численно выражается как -0,302303 - 4,46191 i. Интегральный логарифм от этого — т.е. функция Li — дает самую западную точку на рисунке 21.3 , выражаемую числом -0,105384 + 3,14749 i. Теперь разберемся с сопряженным членом из этой пары нулей. Возводим 20 в степень ¹/ ₂– 14,134725 i. Результат равен -0,302303 + 4,46191 i. Он показан на средней картинке на рисунке 21.4 . Это зеркальный образ точки, помеченной на рисунке 21.2 как 1, относительно вещественной оси. Берем интегральный логарифм и получаем ответ -0,105384 - 3,14749 i— точку, лежащую глубоко на юге в правой части рисунка 21.4 . Складывая два ответа, получаем -0,210768. Мнимые части, разумеется, сократились. Вот и все с первой парой сопряженных нулей.

Повторим все это для второй пары, ¹/ ₂+ 21,022040 iи ¹/ ₂– 21,022040 i. На этот раз окончательный ответ будет равен 0,0215632. Для третьей пары он равен -0,0535991. С тремя парами мы разобрались, но впереди бесконечность!

После 50 таких вычислений получаем (таблицу следует читать по колонкам):

Первое значение представляет собой некоторую аномалию, поскольку самая западная точка на рисунке 21.3 отстоит от вертикальной оси более чем в два раза дальше, чем остальные. Однако затем числа в таблице уменьшаются по мере того, как значения, соответствующие северной половине критической прямой, по спирали приближаются к i. И взгляните на их знаки — имеется примерно равное число положительных и отрицательных. [199] Это хорошая новость, потому что, хотя ответы и становятся меньше, они делают это не очень быстро, и нам потребуется вся возможная помощь, которую могут нам оказать сокращения между положительными и отрицательными значениями. Не будем забывать, что все это происходит под знаком суммы — эти 50 чисел предстоит еще сложить друг с другом. (Сумма равна -0,343864, что, кстати, составляет не более 8 процентов от полной бесконечной суммы. Не так плохо для всего лишь 50 слагаемых.)

199

Одним глазом разглядывая этот список, а другим — рисунок 21.3, можно видеть, что тенденция, согласно которой первые несколько нулей отправляются в числа с отрицательными вещественными частями, представляет собой лишь случайный эффект, и дело вскоре поправляется.

Рисунок 21.5.Первые 50 значений, полученных путем взятия нетривиального нуля и его комплексно сопряженного, вычисления значений функции Li(20 ^z )и их последующего суммирования.

Из рисунка 21.5 видно, почему Риман назвал эти компоненты вторичного члена «периодическими». Они изменяются нерегулярным образом (что означает, если уж быть совсем скрупулезным, что они не строго «периодические», а только «колебательные») вверх и вниз от положительных к отрицательным значениям и обратно. [200] Причина этого совершенно ясна из рисунка 21.3 . Колебательная природа вторичных членов связана с тем, что, как видно из рисунка 21.3 , функция Li (x )скручивает критическую прямую во все более и более плотную спираль. Значения функции, соответствующие нулям дзета-функции, могут при этом оказаться где угодно на этой спирали; определяющая причина состоит в том, что для больших xкритическая прямая чрезвычайно сильно растягивается перед закручиванием. Закручивание настолько плотное, что высоко расположенный отрезок критической прямой отображается в нечто очень близкое по форме к окружности. В силу этого получается, что значения функции Li (x )в нулях дзета-функции выглядят примерно как точки, раскиданные по окружности. Если вы немного знакомы с тригонометрией, то вам известно, что это приводит нас в мир синусов и косинусов, волновых функций, колебаний, вибраций… музыки. Именно отсюда и взялось введенное сэром Майклом Берри понятие «музыка простых чисел».

200

На рисунках 21.5и 21.6нуль, комплексно сопряженный к k-му нулю, обозначен как (-k)-й нуль. Разумеется, неверно, что ' = -.

По мере прибавления новых членов сами они убывают, а положительные и отрицательные до некоторой степени сокращают друг друга при суммировании, так что мы зарабатываем сходимость. Эта сходимость, правда, страшно медленная. Для получения результата с точностью в три значащие цифры приходится складывать более 7000 членов; в четыре цифры — более 86 000. На графике на рисунке 21.6 показаны первые 1000 результатов (хотя некоторые из самых левых при выбранном масштабе оказались за пределами рисунка); на этот раз не делается никаких попыток соединить точки между собой. Видно, что члены под знаком суммы действительно уменьшаются, хотя и делают это с достаточной ленцой.

Рисунок 21.6.То же, что на рисунке 21.5 , но показана 1000 значений (точки не соединены между собой).

Окончательный результат равен -0,370816425…. Это, как мы помним, второй член в выражении (21.1) . Первый же член — это в нашем случае Li(20), равный 9,90529997763…. Третий равен ln 2, что составляет 0,69314718055994…. И четвертый член, тот самый надоедливый интеграл, добавляет пустячный результат 0,000364111…. Подставим все это в выражение (21.1) и — хлоп! — J(20) = 9,58333333… (что мы, конечно, и так знали).

VIII.

Закончим тем, что с использованием формулы Римана проведем полное вычисление (1000 000) — т.е. числа простых чисел в пределах одного миллиона — не ради веселья, хотя веселье и немалое, а для того, чтобы сделать несколько важных замечаний по поводу остаточного члена.

Как мы помним из главы 19.iv,

(1000 000) = J(1000 000) - ¹/ ₂ J(1000 000) - ¹/ ₃ J( ³1000 000) - ….

Сколько же членов в правой части надо вычислять? До тех пор пока числа в скобках не станут меньше 2, потому что J(x)равна нулю, когда xменьше 2. Корень девятнадцатой степени из 1000 000 равен 2,069138…, а корень двадцатой степени 1,995262… Следовательно, можно остановиться на 19. Поскольку число 19 свободно от квадратов и имеет только один простой делитель — самого себя, — функция Мебиуса (19) имеет значение -1. Таким образом, последний член в правой части равен - ¹/ ₁₉ J( ¹⁹1000 000). Всего в правой части будет 13 слагаемых, поскольку между 1 и 19 функция Мебиуса принимает ненулевые значения 13 раз — при аргументах 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19. Напомним, что функция Мебиуса равна нулю всякий раз, когда аргумент делится на точный квадрат (например, 4 или 9).

Каждое из этих 13 слагаемых состоит из четырех членов: главный член, вторичный член (куда и входят нули дзета-функции), член с ln 2 и интегральный член. Если сложить все эти 52 куска, получится (1000 000) — число, про которое мы заранее знаем из главы 3.iii, что оно равно 78 498.

Вся эта арифметика расписана в таблице 21.1 (там опущены строки с N, для которых J(N)равно нулю). Двигаясь вдоль строки Nи используя yдля обозначения N-го корня из одного миллиона, имеем главный член

, вторичный член

, член с ln 2, равный

, и интегральный член

. Суммы по строкам должны быть равны — и в самом деле равны — выражению ((N)/N)J(y).

Таблица 21.1.Вычисление (1000 000).

В качестве простой проверки возьмем строку с N = 6. Поскольку миллион — это 10 ⁶, корень шестой степени из миллиона — это просто 10. Значение J(10) легко посчитать — оно оказывается равным ¹⁶/ ₃. Поскольку число 10 свободно от квадратов и представляет собой произведение двух простых чисел, функция Мебиуса (10) имеет значение +1. Итак, в строке с N = 6 последний столбец должен быть равен (+1)x( ¹/ ₆)x( ¹⁶/ ₃). Это составляет ⁸/ ₉, что и говорится в суммарной колонке для строки с N = 6.

При N = 1 главный член, равен просто Li(1000 000); именно такое приближение к точному ответу дает нам ТРПЧ. Какова же разница между этим приближением и (1000 000)? Ответ получается мгновенно путем простого вычитания: разность, вычисленная как (1000 000) минус Li(1000 000) (чтобы сохранить знаки в нашей таблице), равна -129,54916. Из чего эта разница слагается?

Вот из чего:

из главных членов	– 100,20254
из вторичных членов	– 29,37378
из членов с ln 2	0,03515
из интегральных членов	– 0,00799

Наибольший вклад в разницу дают главные члены. Однако эти члены вполне предсказуемы — они убывают быстро и неуклонно.

Разница, возникающая из вторичных членов, имеет тот же порядок величины, однако составляющие ее компоненты — те самые вторичные члены — вызывают куда больше беспокойства. Первый вторичный член достаточно велик и отрицателен; правда, нет никаких очевидных причин, почему он должен оказаться именно таким. Но и другие не очень помогают. Если просто двигаться вниз вдоль колонки с вторичными членами, не обращая внимания на знаки минус, а следя только за тем, будет ли каждый следующий член больше или меньше предыдущего по величине, то мы увидим такое: меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, меньше, меньше, больше, больше. Вторичный член при N = 19 оказывается почти таким же, как и при N = 6. Все эти вторичные члены — члены, которые выражаются через нули дзета-функции, — джокеры в нашем вычислении. А члены с ln 2, как и было обещано, несущественны.