Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Риман, 1863

Лежен Дирихле

Рихард Дедекинд

Теорема о распределении простых чисел

Шарль де ля Валле Пуссен

Жак Адамар

Пафнутий Львович Чебышев

Атле Сельберг

Первопроходцы XX столетия

Давид Гильберт

Эдмунд Ландау

Г.Х. Харди

Джон Идензор Литлвуд

Вычислительное направление

Йорген Педерсон Грам

Карл Зигель

Алан Тьюринг

Эндрю Одлыжко

Алгебраисты

Эмиль Артин

Андре Вейль

Пьер Делинь

< image l:href="#" />

Ален Конн

Физическое направление

Джордж Пойа

Фримен Дайсон

Хью Монтгомери

Сэр Майкл Берри

Гипотеза Линделёфа и модель Крамера

Эрнст Линделёф

Харальд Крамер

Счет и измерение

Автор с семьей и Тай-е, которому арифметически 97 лет, но аналитически всего 95,522…

Приложение 2. Гипотеза Римана в песне

Том Апостол, заслуженный профессор математики в отставке из Калтеха, написал в 1955 году гимн по поводу Гипотезы Римана (ГР) и исполнил его на конференции по теории чисел, проходившей в Калтехе в июне того года. Исходно написанные Томом стихи заканчивались на 32-й строке; последние два куплета в 1973 году вывесил на доске объявлений в Кембриджском университете алгебраический тополог Сондерс Маклейн. В песне упоминается гипотеза Линделёфа (ГЛ) — младшая сестра ГР. Она была сформулирована в 1908 году, и, по существу дела, ее надо было бы привести где-то в главе 14; но, поскольку она второстепенна по отношению к нашей главной теме и поскольку в ней используется обозначение « большое» из главы 15, а также потому, что я в тот момент посчитал, что в книге и так уже достаточно математики, я не стал ее включать в текст. Правда, стихи Тома без нее не понять, а заставить себя выкинуть песню я не смог. В результате перед вами и сама песня, и, в качестве бесплатного приложения, еще и гипотеза! [215]

215

В оригинале песню Тома Апостола «Где же нули у функции дзета» можно послушать (и даже посмотреть видеоклип с исполнением первого куплета) по адресу:

(Примеч. перев.)

Где же нули у функции дзета?

(на мотив Sweet Betsy from Pike)

1 Где же нули у функции дзета? Нам Риман оставил догадку про это: «На критической линии, там они все, А их плотность — один-на-два- ln T». 5 И эта гипотеза, словно заноза, Многих людей довела до психоза. Стремились они дать строгий расчет, Что происходит, когда tрастет. Ландау, и Бор, и Крамер, и Харди 10 Среди одержимых шли в авангарде. Но все-таки даже они не смогли Уверенно все перечислить нули. Впоследствии Харди сумел доказать, Что на этой прямой их несметная рать, 15 Но его теорема все ж не исключает, Что где-то еще те нули обитают. Пусть Pбудет минус Li — вот прелестно! Но как там с порядком P— неизвестно. Если корень из x ln x— потолок, 20 То Гипотезу Римана вывесть я б смог. Вопрос про задал Линделёф; Над ним потрудилось немало умов. Проверим критическую полосу, И сколько нулей там — как на носу. 25 Но функция эта ведет себя сложно, Ее изучили, насколько возможно. «График должен быть выпуклым, — смог он сказать, — Если сигма сама превосходит 0,5». Так где же нули у функции дзета? 30 Даже через столетие все нет ответа. А ТРПЧ можно все улучшать, Но контур обязан нули избегать. Тем временем Вейль обратился к предмету, Используя более хитрую дзету. 35 Коль характеристика поля равна Простому числу — теорема верна. Мораль этой притчи нетрудно понять, И всем юным гениям следует знать: Если не выручает обычный подход, 40 То по модулю p— авось повезет! Том М. Апостол, перевод Сергея Ельницкого

Where are the zeros of zeta of s?

Where are the zeros of zeta of s? G.F.B. Riemann has made a good guess: «They're all on the critical line,» stated he, «And their density's one over two pi log T». This statement of Riemann's has been like a trigger, And many good men, with vim and with vigor, Have attempted to find, with mathematical rigor, What happens to zeta as mod tgets bigger. The efforts of Landau and Bohr and Cram'er, Hardy and Littlewood and Titchmarsh are there. In spite of their effort and skill and finesse, In locating the zeros there's been no success. In 1914 G.H. Hardy did find, An infinite number that lie on the line. His theorem, however, won't rule out the case, That there might be a zero at some other place. Let Pbe the function pi minus Li; The order of Pis not known for xhigh. If square root of xtimes log xwe could show, Then Riemann's conjecture would surely be so. Related to this is another enigma, Concerning the Lindel"of function mu sigma, Which measures the growth in the critical strip; On the number of zeros it gives us a grip. But nobody knows how this function behaves, Convexity tells us it can have no waves. Lindel"of said that the shape of its graph Is constant when sigma is more than one-half. Oh, where are the zeros of zeta of s? We must know exactly. It won't do to guess. In order to strengthen the prime number theorem, The integral's contour must never go near 'em. Andr'e Weil has improved on old Riemann's fine guess By using a fancier zeta of s. He proves that the zeros are where they should be, Provided the characteristic is p. There's a moral to draw from this long tale of woe That every young genius among you must know: If you tackle a problem and seem to get stuck, Just take it mod pand you'll have better luck.

Примечания

Мотив. Sweet Betsy from Pike —песня, которую поют на этот мотив в Америке. Однако мелодия старше, чем слова. Впервые она прозвучала в английской песенке Villikens and his Dinah [216] , популярной в середине XIX века. (Из этой песенки, кстати, взято имя кошки в книгах Льюиса Кэрролла об Алисе. Villikens and his Dinahбыла любимой песней Алисы Лидделл — девочки, которая вдохновила его на написание книг, и у нее и в самом деле была кошка по имени Дина.) Если ваше обучение в Британии включало в себя членство в школьном клубе регби [217] , то вы, скорее всего, распознаете эту мелодию как мелодию известной печальной баллады, начинающейся словами О Father, О Father, I've come to confess. I've left some poor girl in a hell of a mess. [218]

Строка 1.См. главу 5.vii.

Строка 2.Полное имя Римана было Георг Фридрих Бернхард Риман (глава 2.iii). Насколько известно, он всегда пользовался только именем Бернхард.

Строка 3.По поводу «критической прямой» (она же критическая линия) см. главу 12.iii, рисунок 12.1 .

Строка 4.Это следует сравнить с утверждением из главы 13.viii, что на высоте Tвдоль критической прямой средний интервал между нулями ~2 /ln ( T/2 ). Это означает, что на единицу длины вдоль прямой приходится ~(1/2 )/ln ( T/2 ) нулей. Это автор песни и имеет в виду под «плотностью». Заметим, что, согласно правилам обращения с логарифмами, ln ( T/2 ) равен ln T– ln (2 ), т.е. ln Т– 1,83787706…. Умножив это на 1/2 , получим (1/2 )ln T– 0,29250721…. По мере роста Tрастет (хотя и намного медленнее) и ln T, так что слагаемое величины 0,29250721… становится совершенно несущественным. Следовательно, плотность равна «один-на-два-пи эль-эн T».

Строка 8.В оригинале обозначение mod tиспользовано для модулячисла t, определенного в главе 11.v. Когда, как в данном случае, под tпонимается вещественное число, mod t— в нормальных обозначениях |t|— выражает просто величину tбез учета знака. [219] Как отмечалось в главе 16.iv, t(или T) — довольно стандартное обозначение в теории дзета-функции, когда говорят о больших высотах вдоль критической прямой (или, более общим образом, как видно из обсуждения ГЛ в примечаниях к строчкам 21-28, о мнимой части аргумента дзета-функции).

Строка 9.Харальд Бор (глава 14.iii) и Эдмунд Ландау доказали в 1913 году важную теорему о функции S(см. главу 22.iv), которая гласит, что если дзета-функция имеет лишь конечное число нулей вне критической прямой, то функция S(t)неограничена, когда tстремится к бесконечности. Упоминавшееся в главе 22.iv доказательство Сельберга 1946 года, что S(t)неограничена, — более сильный результат, поскольку не требует указанного условия. По поводу Крамера см. главу 20.vii. Помимо разработки упомянутой там «вероятностной модели» для распределения простых чисел Крамер также доказал и один менее значительный результат о функции S: если ГЛ (см. примечания к строчкам 21-28) верна, то S(t)/ln tстремится к нулю, когда tстремится к бесконечности. По поводу Литлвуда и Харди см. главу 14; по поводу Титчмарша — главу 16.v.

Строки 13-16.Глава 14.v.

Строка 17.Чтобы попасть в размер, термин Li здесь надо произносить как как ell-eye(в оригинале, и как «ли» в переводе. — Примеч. перев.).Далее автор песни обсуждает остаточный член (x) - Li (x), который мы подробно рассматривали в главе 21.

Строка 18.«Как там с порядком P— неизвестно» означает, что « Pесть большое от… от чего? — неизвестно». По поводу большого см. главу 15.ii-iii; при этом имеются в виду большие значения x.

Строки 19-20.Если бы удалось доказать, что (x) - Li (x) = (x•ln x)(другими словами, на разность имеется ограничение, т.е. «потолок»), то и ГР была бы доказана. В этом заключается результат, обратный результату фон Коха 1901 года, приведенному в главе 14.viii. Там это не упомянуто, но если формула фон Коха верна, то верна и ГР. Они следуют друг из друга.

Строки 21-28.Следующие несколько строк целиком посвящены гипотезе Линделёфа (ГЛ) — знаменитому предположению в теории дзета-функции. Его гипотеза касается роста дзета-функции в вертикальном направлении — т.е. вверх по вертикальной прямой в комплексной плоскости.

216

Вилликенс и его Дина. (Примеч. перев.)

217

В Англии, как правило, в регби играют в частныхшколах (а в футбол — в остальных). (Примеч. перев.)

218

«0 святой отец, прими мою исповедь. Я оставил одну бедную девочку в чертовски трудном положении». (Примеч. перев.)

219

Поскольку в данном случае — при движении вверх по критической прямой — t,очевидно, положительно, указание на его модуль излишне, если только оно не служит попаданию в размер стиха. (Примеч. перев.)

Линделёф, записав аргумент дзета-функции в виде + ti,задался таким вопросом: пусть задана вещественная часть (это, кстати, строчная греческая буква сигма); что можно сказать о величине ( + ti), когда t(мнимая часть аргумента) изменяется от нуля до бесконечности? «Величина» здесь понимается в смысле модуля, который мы определили в главе 11.v; другими словами, это означает |( + ti)| — расстояние от значения дзета-функции до точки нуль. Это вещественное число, так что для всякой заданной и аргумент t, и значение |( + ti)|— вещественные числа. Следовательно, можно нарисовать график. На рисунках от П1 до П8 показаны графики для некоторых характерных значений ; эти графики иллюстрируют суть дела лучше всяких слов.

Рисунок П1.

Рисунок П2.

Рисунок П3.

Рисунок П4.

Рисунок П5.

Рисунок П6.

Рисунок П7.

Рисунок П8.

Обратим внимание на нетривиальные нули дзета-функции на рисунке П5 . Стоит обратить внимание и на оживление, которое по сравнению с остальными демонстрируют рисунки от П4 до П6 . Все интересное, что может случиться с дзета-функцией, происходит в критической полосе.