Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

(6.19)

Подставив это выражение в формулу (6.17), получим:

(6.20)

Второе слагаемое выглядит знакомо: это кинетическая энергия. Оказывается, что нулевой компонент 4-импульса представляет собой нечто энергоподобное и равен сумме массы и кинетической энергии.

А почему бы нам не определить энергию релятивистского объекта как нулевой компонент его 4-импульса? Мы можем записать:

(6.21)

В качестве побочного эффекта из этой формулы понятно, почему ракеты не могут летать со скоростью выше скорости света. Чем ближе v к 1, тем

ближе к нулю, а

— к бесконечности. Чтобы разогнать ракету до скорости света, а тем более превысить ее, потребуется бесконечное количество энергии. Это невозможно.

Если же скорость намного меньше скорости света, то в силу выражения (6.20) получим:

(6.22)

Мы говорим, что кинетическая энергия — это «энергия объекта, связанная с его движением». Другое слагаемое, которое равно просто массе m, можно понять как «энергию, которую объект имеет в состоянии покоя». Назовем ее энергией покоя, Eпокоя = m.

В этом выражении не все в порядке с единицами измерения. Возможно, это связано с тем, что мы принимаем c = 1 и опускаем. Мы знаем, что энергия измеряется в единицах массы, умноженных на квадрат единицы скорости. Поэтому мы можем устранить проблему, домножив массу на c2. Так мы приходим к знаменитой формуле:

Eпокоя = mc2. (6.23)

Чаще всего слово «покоя» в этой формуле опускается. Это неправильно и может вводить в заблуждение. На самом деле смысл ее в том, что объекты обладают энергией, даже когда находятся в полном покое, и эта энергия равна массе, умноженной на квадрат скорости света. (Кроме того, можно сказать, что масса объекта равна «значению 4-импульса объекта в неподвижной системе отсчета». Оба варианта верны.)

То, что мы рассмотрели — самый известный пример концептуальной унификации, которую дает нам специальная теория относительности. Энергия и импульс — не независимые понятия: энергия лишь временеподобная версия импульса. В этом и состоит одна из замечательных особенностей физики: разрозненные понятия могут быть собраны вместе силой одной хорошей теории.

Семь. Геометрия

Когда в 1907 году Минковский предположил, что лучше всего рассматривать специальную теорию относительности в терминах единого четырехмерного пространства-времени, Эйнштейн отнесся к этому скептически. В печати он жаловался, что подход Минковского «предъявляет к читателю довольно высокие математические требования».

Но вскоре Эйнштейн оценил труды Минковского. Это случилось, когда вдруг стало понятно, что гравитацию можно рассматривать как проявление кривизны пространства-времени, а значит, расширить теорию относительности. Однако какая же физическая теория без уравнений? И в данном случае на помощь приходит геометрия, особенно геометрия Римана, которая позволяет произвольно искривлять пространства и изучать их изнутри, а не встраивать их в какое-то более многомерное пространство.

Увы, Эйнштейн ничего не знал о геометрии Римана. В то время она была почти никому не известна, поскольку появилась лишь в середине XIX века и к 1910-м годам не нашла какого-то особого применения в физике. Но к счастью, Марсель Гроссман, старый одноклассник Эйнштейна, работал профессором математики и неплохо владел этой темой. С помощью Гроссмана Эйнштейн довольно хорошо освоил геометрию Римана и сформулировал общую теорию относительности — собственный взгляд на теорию гравитации.

Теперь пришла наша очередь. Если сам Эйнштейн, отложив собственные труды, выучил геометрию Римана, можно ли нам оставаться в стороне? Поэтому мы посвятим ей целую главу (ведь, несомненно, Риман предложил одну из «величайших идей»), а в следующей главе мы используем ее во благо физики.

Геометрия Евклида

С удовольствием или отвращением, но все мы помним школьные уроки геометрии. Все эти треугольники, окружности и другие фигуры. То, что мы изучали тогда, неразрывно связано с Евклидом, античным математиком, который жил в Александрии, примерно тогда же, когда Аристотель писал свои философские трактаты. Геометрию Евклида можно назвать «настольной», поскольку все фигуры и линии можно изобразить на плоской, двумерной поверхности (хотя достаточно легко перенести в трехмерное или многомерное пространство).

Влияние Евклида заключается не столько в конкретных результатах — теоремах о свойствах геометрических фигур, — сколько в самом подходе, который он предложил. На самом деле многое из того, что вошло в геометрию Евклида, было известно и до его работ:

• Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

• Сумма углов треугольника равна 180° (? радиан).

• Длина окружности равна 2?r, где r — ее радиус.

• Площадь круга равна ?r2.

Отличительной особенностью геометрии Евклида является система аксиом. Мы принимаем набор постулатов — аксиом, — которые служат логической основой для доказательства теорем, то есть утверждений типа «если эти аксиомы верны, то верен и вот этот вывод». Соглашаясь с такой логической основой (хотя, разумеется, это не обязательно; например, у философов есть к ней вопросы), мы считаем теоремы доказанными.

Такой подход сильно отличается от принятого в других науках, эмпиричных и склонных к фальсификациям, в которых любая теория может оказаться неверной, сколько бы доказательств не было приведено в ее подтверждение. Ученые выдвигают гипотезы о свойствах нашего мира и проверяют их по фактическим данным. От результатов проверки зависит то, как принимаются эти гипотезы. Нельзя быть до конца уверенными в том, что они верны, поскольку в будущем могут быть собраны новые данные, которые все опровергнут. Но в геометрии, да и в целом во всей математике и логике, все очень четко: если верны аксиомы, будут верны и теоремы [19] .

19

Те, кто следит за научными дискуссиями, может заметить некую «иерархию», в которой понятия ранжируются по степени достоверности. На первой ступени идут «гипотезы» (которые не сильно надежнее догадок), затем «модели», «теории» и, наконец, «законы». Однако в обиходе настоящих ученых все эти термины пересекаются настолько, что пропадает всякий полезный смысл отличать один от другого. С другой стороны, существует важное и четкое различие между «теориями» — научными моделями устройства мира — и «теоремами» — хитроумно доказанными математическими утверждениями.

По большей части аксиомы Евклида — это разумно звучащие утверждения, которые имеют смысл как основы для геометрии. Взять, например, «между любыми двумя точками можно провести прямую» или «все прямые углы равны». Но есть одна, которая всегда выделялась на фоне других. Это так называемый пятый постулат Евклида — аксиома параллельности. Если построить на плоскости две изначально параллельные прямые, например проведя их через концы какого-то отрезка под прямым углом к нему, эти прямые всегда будут отстоять друг от друга на одинаковое расстояние. (На самом деле Евклид сформулировал свой постулат так: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых [углов], то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».)