Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Разговор об этом понятии тесно связан с третьим законом Ньютона, в котором утверждается, что любому действию соответствует равное ему противодействие. Более точная формулировка звучит так: когда тело А оказывает некоторую силу на тело В, последнее оказывает на тело А такую же силу в противоположном направлении.

Представим себе человека, опирающегося о стену. В это время человек оказывает на нее силу F. Стена, в свою очередь, воздействует на человека аналогичным образом, но в противоположном направлении, благодаря этому мы и не можем проходить сквозь стены. Точно так же Земля воздействует на нас с силой, равной той, с которой мы воздействуем на Землю, и благодаря этому мы не проваливаемся к центру планеты. Что произошло бы, если бы мы воздействовали на Землю с силой больше нашего веса? В этом случае Земля ответила бы такой же силой, и мы бы отлетели бы от ее поверхности, то есть совершили прыжок.

Используя закон действия и противодействия, можно доказать, что импульс системы частиц должен оставаться постоянным. Возьмем предыдущий пример с прыжком: с одной стороны, человек толкает Землю вниз, в то время как Земля толкает человека вверх. Сила, примененная к человеку, вызывает изменение его скорости, согласно второму закону Ньютона, в котором говорится, что сила пропорциональна ускорению. Точно так же сила, примененная к Земле, влечет изменение ее скорости. Естественно, изменение скорости человека намного больше: масса человека по сравнению с массой Земли очень незначительна. Хотя изменение скорости Земли незаметно ввиду огромной массы планеты, однако изменение ее импульса равно изменению импульса человека, но в противоположном направлении. Итак, оба изменения импульса взаимно сокращаются, и общий импульс остается постоянным.

* * *

УИЛЬЯМ РОУЭН ГАМИЛЬТОН (1805–1865)

Гамильтон был ирландским физиком и математиком. Его главный вклад в физику состоял в том, что он вывел уравнения движения для тела в классической механике в их современном виде. Гамильтон изобрел кватернионы — систему представления комплексных чисел в четырех измерениях. Кватернионы подходят для описания любого типа вращений и широко использовались в физике, пока не были заменены векторным исчислением.

Гамильтон с детства проявил удивительные лингвистические способности, и уже к подростковому возрасту говорил на 12 языках. Однако потом эта его страсть уступила место все возрастающему интересу к математике, вызванному чтением великих трудов, таких как «Начала» Ньютона и «Небесная механика» Лапласа. Гамильтону удалось не только найти новые формулировки для законов Ньютона, но и построить параллели между механикой и оптикой, а затем перейти к разработке серии уравнений, применимых к обеим этим дисциплинам. Работы ученого использовал австрийский физик Эрвин Шрёдингер (1887–1961) для получения своего знаменитого уравнения, определяющего квантовую механику и использующего идею корпускулярно-волнового дуализма (вспомним, что механика работает с частицами, а оптика — с волнами).

* * *

Газ — это система частиц, на которую не воздействуют внешние силы. Это означает, что количество движения его частиц должно оставаться неизменным. Что удивительно, так это возможность сделать подобный прогноз, абсолютно ничего не зная о свойствах молекул, из которых состоит газ. Это делает возможными определенные вычисления, связанные с законами сохранения импульса или энергии. Эти законы являются фундаментальными для прогнозирования поведения какой-либо сложной системы.

Гамильтон решил «заново выразить» уравнения Лагранжа в терминах положений и импульсов вместо положений и скоростей. Таким образом он намеревался упростить математические методы, необходимые для определения траектории изучаемой частицы. Поскольку положения частиц выражались в обобщенных координатах, Гамильтон вынужден был дать импульсу другое определение, адаптированное для этих координат. Он назвал эти новые импульсы обобщенными импульсами и определил их таким образом, чтобы они совпадали с импульсами Ньютона в случае, когда обобщенные координаты совпадают с координатами в прямоугольной системе.

Гамильтон пытался уравнять импульсы и положения, предположив, что импульс — просто координата. Сделав это, он столкнулся с тем, что количество уравнений, требовавших решения, увеличилось, но сами уравнения при этом стали проще.

Поясним, как скорости заменяются импульсами. Возьмем частицу, брошенную в воздух на определенной скорости. Ее кинетическая энергия определяется следующим образом:

T = m·v²/2

Теперь заменим скорости импульсами. Мы знаем, что импульс — это произведение массы на скорость:

p = m·v.

Сократив скорость, получаем:

v = p/m

Теперь, если в формуле кинетической энергии заменить скорость (v) на полученный результат, имеем:

Это выражение включает не скорость, а импульс частицы. Выражение лагранжиана теперь включает в себя только положение и импульс, но в нем при этом удвоилось число неизвестных: теперь нужно найти как положение, так и импульс частицы в каждый момент времени. Но несмотря на такое усложнение, это все же проще, чем решать уравнения Эйлера — Лагранжа.

Уравнения Гамильтона

Следующим шагом для Гамильтона был поиск системы уравнений, которые позволили бы описать изменение во времени импульса и положения частицы, если даны их кинетическая и потенциальная энергии. Для решения задачи Гамильтон пошел дальше уравнений Эйлера — Лагранжа и нашел собственную формулировку классической механики.

Ключевым шагом было введение новой величины, названной в честь ученого гамильтонианом. Гамильтониан частицы совпадает с суммарной энергией, это сумма кинетической и потенциальной энергий. То есть:

H = T + V.

Здесь нужно сделать важное замечание: хотя представленное выше уравнение обычно верно, в некоторых случаях необходимо получать гамильтониан другими способами. Например, это происходит при изменении энергии или когда изучаемая система ускоряется. Однако в подавляющем большинстве физических систем суммарная энергия остается неизменной, поэтому обычно используется именно это уравнение.

Необходимо помнить, что кинетическая и потенциальная энергия зависит от импульсов и положений, которые, в свою очередь, являются временными функциями.

Найдем, как зависят положение и импульс от времени. Другими словами, мы хотим узнать, куда и с какой скоростью движется изучаемое тело. Используя уравнения Эйлера — Лагранжа, Гамильтону удалось изменить их так, чтобы найти новые равенства, зависящие только от гамильтониана. Открытые ученым уравнения могут быть выражены следующим образом:

— изменение положения во времени равно изменению гамильтониана за единицу импульса;

— изменение импульса во времени противоположно изменению гамильтониана в пространстве.

Ниже приведено их математическое выражение, в котором символы d и

, несмотря на то что их значения немного различаются (не станем углубляться в эти различия), могут читаться как «изменение»:

Говоря об уравнениях Гамильтона, следует отметить некоторые моменты. Во-первых, как и можно было ожидать, мы видим два уравнения вместо одного, поскольку теперь мы должны вычислить изменение как положения, так и импульса.