Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

ДО	261.6	ДО#	277
РЕ	293.7	РЕ#	311
МИ	329.6
ФА	349.2	ФА#	370
СОЛЬ	392	СОЛЬ#	415
ЛЯ	440	ЛЯ#	466
СИ	494

Интересно заметить, что квинта в этой системе имеет соотношение частот 2^7/12 = 1,49, что чуть-чуть отличается от «пифагорейского» чистого тона с соотношением 1.5. На слух «современная квинта» имеет небольшие биения 0,5 Гц, соответствующие разности частот 392—392,4. До сих пор есть любители исполнения старинной музыки в квинто-терцевом строе, называемым «чистым». В 18-м же веке дебаты между приверженцами «старого» и «нового» строя были довольно-таки острыми. Впрочем, преимущества равномерно темперированного строя в виде четкого соотношения между частотами нот и возможности транспонирования музыки в любую другую тональность «без потери качества» оказались решающими. Сейчас «чистый строй» имеет лишь историческое значение, и используется лишь иногда для исполнения старинных произведений.

И традиционно, программа на языке Python, выводящая частоты полутонов в обе стороны от ноты «Ля»:

 import math

 freqLa = 440
 for p in range(-32, 32):
  freq = freqLa * math.pow(2, p / 12.0)
  print p,freq

11. Вращение планет

Еще в древней Греции ученые знали, что планеты движутся по небу, но каким образом? Сотни лет господствовала геоцентрическая система мира — в центре была Земля, вокруг которой по окружностям двигались Луна, планеты (на то время их было известно 5) и Солнце:

Такая система казалась вполне логичной и интуитивно понятной (даже сейчас люди говорят что солнце «всходит» и «заходит»), однако не объясняла астрономам почему планеты движутся по небу неравномерно, и временами даже в обратную сторону.

Вот так, к примеру, выглядит перемещение по небу планеты Марс, что никак не укладывается в теорию движения по кругу:

Впрочем геоцентрическая система просуществовала более 1500 лет, только в 16-м веке Коперник издал свой труд «О вращениях небесных сфер», где описывал вращение планет по круговым орбитам вокруг Солнца. Однако проблемой было то, что и при этой схеме фактические движения планет не совпадали с расчетными.

Объяснить это не мог никто, пока в 1600 году немецкий математик Иоганн Кеплер не стал изучать многолетние результаты наблюдений, сделанные астрономом Тихо Браге. Кеплер был великолепным математиком, но и у него ушло несколько лет чтобы понять суть и вывести законы, которые и сейчас называются законами Кеплера.

Как оказалось, движение планет подчиняется 3-м математическим законам:

1) Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов эллипса находится Солнце:

2) Планеты движутся неравномерно: скорость планеты увеличивается при движении к Солнцу и уменьшается в обратном направлении. Но за равные промежутки времени вектор движения описывает равные площади: площади участков «А» одинаковы:

< image l:href="#"/>

3) Квадраты периодов обращений планеты пропорциональны кубу расстояний до орбиты:

Кеплер считал, что весь мир подчиняется гармонии, и что солнечная система больше похожа на часовой механизм, чем на божественное творение. Найденные им законы не только красивы и гармоничны, но и совпали с реальными наблюдениями (уже позже выяснилось, что законы Кеплера могут быть выведены из законов Ньютона и закона всемирного тяготения, желающие могут найти доказательства в Википедии).

Что касается Марса, то его орбита более вытянутая, чем орбита Земли, чем и объясняется разница как в скорости движения, так и в яркости планеты. Картинка с сайта журнала «Наука и жизнь»:

Кстати, эта картинка хорошо объясняет, почему только некоторые годы благоприятны для запуска космических кораблей к Марсу — те годы, в которые расстояние между планетами минимально.

12. Парадоксы теории вероятности

На интуитивном уровне понимание теории вероятности довольно-таки просто. Возьмем кубик с 6 гранями, подбросим и посмотрим какая грань выпала. Интуитивно ясно, что вероятность выпадения 1 грани из 6 будет 1/6. Действительно, вероятностью называют отношение числа равновероятных событий к числу всех возможных вариантов:

Какова вероятность что выпадут 2 цифры подряд? Она равна произведению вероятностей: (1/6) * (1/6) = 1/36.

Вроде все просто, однако несмотря на простоту, есть довольно-таки много задач, где математика не всегда совпадает с бытовым «здравым смыслом». Рассмотрим несколько таких парадоксов.

Дети мистера Смита

Эту задачу описывал Мартин Гарднер. Известно что у мистера Смита двое детей, и один из них мальчик. Какова вероятность, что второй из них тоже мальчик? Интуитивно кажется, что вероятность пола ребенка всегда равна 1/2, но не все так просто.

Рассмотрим возможные варианты семей с двумя детьми:

–  мальчик-мальчик

–  мальчик-девочка

–  девочка-мальчик

–  девочка-девочка

Исходя из списка вариантов, ответ понятен. Вариант «девочка-девочка» по условию не подходит. Всего остается 3 варианта семей где есть мальчик (М + М, М + Д, Д + М), значит вероятность что второй ребенок окажется мальчиком, равна 1/3.

Бросание кубика

Вернемся к бросанию кубика. Допустим, мы бросили кубик 5 раз, и все разы выпала цифра «3». Какова вероятность, что мы бросим кубик еще раз, и выпадет снова цифра «3»?

Ответ прост. Интуитивно кажется, что вероятность такого события очень мала. Но в реальности кубик не имеет какой-либо встроенной «памяти» на предыдущие события. Какие бы числа не выпадали до текущего момента, вероятность нового числа также равна 1/6 (а вот если говорить о вероятности выпадения такой серии «в целом», то она действительно равна 1/(6 * 6 * 6 * 6 * 6 * 6) = 1/46656.

Кстати, такая вероятность это много или мало? Интуитивно кажется что мало, и в принципе оно так и есть. Одному человеку пришлось бы бросать кубик каждые 10 секунд 4 дня, чтобы дождаться выпадения 6 цифр подряд. Однако если рассматривать большие числа, то такие вероятности становятся неожиданно большими. Например, если 6 раз кубик бросят все 5 миллионов жителей Петербурга, то 6 цифр подряд выпадут примерно у 100 человек — довольно-таки значительное количество. Это на самом деле важный момент: даже довольно-таки маловероятные события гарантированно произойдут, если речь идет о большом числе попыток. Это важно при прогнозировании таких событий как ДТП, аварии, катастрофы, и прочие негативные явления, которые в большом городе увы, не редкость. По этой же причине редкие заболевания эффективнее лечить в большом городе — редкая болезнь, встречающаяся 1 раз на 100000 человек, может практически не встречаться в небольшом городе и у врачей не будет опыта борьбы с ней, а в мегаполисе таких больных наберется в несколько раз больше.