Рассказы о математике с примерами на языках Python и C

Результат: 12 = 3,464101615137754

Как можно видеть, сделав всего 4 шага, можно получить 12 с достаточной точностью, задача вполне посильная даже для ручных расчетов 15 века.

Наконец, запрограммируем вторую часть алгоритма — собственно вычисление Пи.

 sum = Decimal(1)
 sign = -1
 for p in range(1,32):
  sum += Decimal(sign) / Decimal((2 * p + 1)*(3**p))
  sign = -sign
  print(p, sqrt12 * sum)
 print("Result:", sqrt12 * sum)

Результаты работы программы:

Шаг Значение
 1 3.079201435678004077382126829
 2 3.156181471569954179316680000
 3 3.137852891595680345522738769
 4 3.142604745663084672802649458
 5 3.141308785462883492635401088
 6 3.141674312698837671656932680
 7 3.141568715941784242161823554
 8 3.141599773811505839072149767
 9 3.141590510938080099642754230
 10 3.141593304503081513121460820
 11 3.141592454287646300323593597
 12 3.141592715020379765581606212
 13 3.141592634547313881242713430
 14 3.141592659521713638451335328
 15 3.141592651733997585128216671
 16 3.141592654172575339199092210
 17 3.141592653406165187919674184
 18 3.141592653647826046431202391
 19 3.141592653571403381773710565
 20 3.141592653595634958372427485
 21 3.141592653587933449530974820
 22 3.141592653590386522717511595
 23 3.141592653589603627019680710
 24 3.141592653589853940610143646

Уже на 24-м шаге мы получаем искомые 11 знаков числа Пи. Задача явно требовала больше времени чем сейчас, но вполне могла быть решена в средние века.

Современные формулы не столь просты внешне, зато работают еще быстрее. Для примера можно привести формулу Чудновского:

Для сравнения, те же 24 итерации по этой формуле дают число Пи со следующей точностью:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249.

Если сделать 100 итераций и вычислить 1000 знаков Пи, то можно увидеть так называемую «точку Фейнмана»:

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420207

Это последовательность «999999», находящаяся на 762-м знаке от начала. Желающие могут поэкспериментировать дальше самостоятельно с помощью программы на языке Python:

 from math import factorial
 from decimal import *

 def chudnovsky(n):
  pi = Decimal(0)
  k = 0
  while k < n:
  pi += (Decimal(-1)**k) * (Decimal(factorial(6 * k)) / ((factorial(k)**3) * (factorial(3*k))) * (13591409 + 545140134 * k) / (640320**(3 * k)))
  k += 1
print("Шаг: {} из {}".format(k, n))
  pi = pi * Decimal(10005).sqrt / 4270934400
  pi = pi**(-1)
  return pi

 # Требуемая точность (число знаков)
 N = 1000
 getcontext.prec = N

 val = chudnovsky(N / 14)
 print(val)

Эта программа не оптимизирована, и работает довольно-таки медленно, но для ознакомления с сутью алгоритма этого вполне достаточно. Кстати, с помощью формулы Чудновского два инженера Александр Йи и Сингеру Кондо в 2010 году объявили о новом мировом рекорде вычисления Пи на персональном компьютере: 5 трлн знаков после запятой. Компьютеру с 12 ядрами, 97 Гб памяти и 19 жесткими дисками потребовалось 60 дней для выполнения расчетов.

На этом мы закончим с числом Пи, хотя с ним конечно, связано куда больше интересных фактов. Например 3 марта (т. е. 03.14) отмечается международный «день числа Пи», ну а другие факты читатели могут поискать самостоятельно.

4. Вычисление радиуса Земли

О том, что Земля круглая сегодня знает каждый школьник, и никого не удивить таким видом планеты из космоса.

Однако в историческом плане, увидеть планету свысока мы смогли совсем-совсем недавно. Как же мог греческий ученый Эратосфен измерить радиус Земли, в 240 году до нашей эры? Оказывается мог, используя 2 научных «инструмента» — транспортир и верблюда, ну и разумеется, математику.

Эратосфен жил в Александрии — крупнейшем городе того времени, центром науки и искусств древнего мира. В Александрии по преданию, находился маяк высотой 120 метров — даже сегодня такое сооружение не просто построить, а в то время маяк считался одним из 7 чудес света. Эратосфен же был не только ученым, но и хранителем Александрийской библиотеки, содержащей до 700000 книг.

Читая труды по географии, Эратосфен нашел интересный факт — в городе Сиене в день летнего солнцестояния Солнце стоит так высоко, что предметы в полдень не отбрасывают тени. Другой может и не обратил бы на это внимание, но Эратосфен не зря интересовался и математикой и астрономией. Он знал что в его городе Александрии тень в этот же день имеет другой угол. Эратосфен дождался солнцестояния, измерил угол солнечных лучей и получил величину 7,2 градуса.

Что это значит? Объяснение данному факту могло быть только одно — Земля круглая, и угол падения солнечных лучей в разных точках Земли в одно время различается.

Картинка с сайта physicsforme.com

Дальше, как говорится, дело техники. Зная примерное расстояние между Сиеном и Александрией (которое было известно из времени в пути каравана верблюдов) и угол, легко получить длину всей окружности. К чести Эратосфена, его результат отличается от сегодняшнего всего лишь на 1%. Так, задолго до эпохи авиации и воздухоплавания, человек впервые смог измерить радиус планеты, даже при этом не отрываясь от нее. Увидеть настоящую кривизну Земли сумели лишь пилоты стратостатов в начале 20 века, более чем через 2000 лет после описанного опыта.