Структура реальности

Такое беспокойство может показаться еще более обоснованным в применении к гипотетическому решению с бесконечным числом шагов. Но что такое «шаг» и что такое «бесконечный»? В V веке до н. э. Зенон Элейский на основе похожих интуитивных соображений пришел к выводу, что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, если у черепахи было преимущество на старте. Ведь к тому времени, когда Ахиллес достигнет места, где черепаха находится сейчас, она немного продвинется вперед. К тому времени, когда он достигнет этой новой точки, она продвинется еще чуть-чуть и так до бесконечности. Таким образом, чтобы догнать черепаху, Ахиллесу потребуется выполнить бесконечное число шагов, которое он, будучи конечным существом, якобы выполнить не сможет. Но то, что способен сделать Ахиллес, невозможно обнаружить с помощью чистой логики. Это полностью зависит от того, что ему позволяют сделать действующие законы физики. И если эти законы говорят, что он обгонит черепаху, то он ее обгонит. В соответствии с классической физикой для того, чтобы сравняться с черепахой, требуется бесконечное количество шагов вида «переход на текущее место нахождения черепахи». В этом смысле данная операция является вычислительно бесконечной. Если это построение рассматривать как доказательство того, что одна абстрактная величина станет больше другой при выполнении данного набора действий, то это будет доказательство с бесконечным количеством шагов. Однако соответствующие законы обозначают это доказательство как физически конечный процесс – и только это имеет значение.

Интуиция Гёделя относительно шагов и конечности, насколько нам известно, действительно учитывает некоторые физические ограничения на процесс доказательства. Квантовая теория требует дискретных этапов, и ни один из известных способов взаимодействия физических объектов не позволил бы сделать бесконечное количество шагов, прежде чем получить измеримый результат. (Возможно, однако, такое, что за всю историю Вселенной будет совершено бесконечное количество шагов – я объясню это в главе 14.) Классическая физика, окажись она истинной (что исключено), не согласовывалась бы с такого рода интуициями. Например, непрерывное движение классических систем позволило бы осуществлять «аналоговое» вычисление, которое не является пошаговым и репертуар которого существенно отличается от универсальной машины Тьюринга. Известны некоторые примеры хитрых классических законов, в случае действия которых бесконечный объем вычислений (бесконечный как по стандартам машины Тьюринга, так и квантового компьютера) можно было бы выполнить физически конечными методами. Безусловно, классическая физика несовместима с результатами бесчисленных экспериментов, поэтому размышления о том, какими могли бы быть «действительные» классические законы физики, носят искусственный, чисто спекулятивный характер; однако эти примеры показывают, что никто не может доказать, независимо от знания физики, что доказательство должно состоять из конечного числа шагов. Эти же соображения применимы к интуиции о том, что должно быть конечное количество правил вывода, и что они должны быть «применимы непосредственно». Ни одно из этих требований не имеет смысла в теории: это физические требования. Гильберт в своем влиятельном эссе «О бесконечном» (On the Infinite) ехидно высмеивал идею о том, что требование «конечного числа шагов» является существенным. Однако вышеуказанный аргумент показывает, что он ошибался: это требование существенно, и оно вытекает только из его собственной и других математиков физической интуиции.

По крайней мере одно из интуитивных представлений Гёделя о доказательствах оказалось ошибочным; к счастью, это никак не влияет на доказательства его теорем. Он унаследовал его в неизменной форме из предыстории греческой математики, и оно не вызывало сомнений ни у одного поколения математиков до тех пор, пока в 1980-х годах открытия в области квантовой теории вычислений не доказали его ложность. Это представление заключается в том, что доказательство – это определенный тип объекта, а именно, последовательность утверждений, которая подчиняется правилам вывода. Я уже говорил о том, что доказательство лучше рассматривать не как объект, а как процесс, разновидность вычислений. Однако в классической теории доказательств или вычислений фундаментальной разницы между ними нет по следующей причине. Если можем осуществить процесс доказательства, то, прикладывая лишь немного дополнительных усилий, можно вести запись всего важного, что происходит во время этого процесса. Эта запись, будучи физическим объектом, составит доказательство в смысле последовательности утверждений. И наоборот, если бы у нас была такая запись, мы могли бы прочитать ее, проверить, удовлетворяет ли она правилам вывода, и в ходе этого процесса мы докажем наше заключение. Другими словами, в классическом случае переход между процессом доказательства и объектом доказательства – это всегда легкорешаемая задача.

Теперь давайте рассмотрим некоторое математическое вычисление, которое является трудным для всех классических компьютеров, но предположим, что квантовый компьютер легко может выполнить это вычисление, задействовав интерференцию между, скажем, 10500 вселенными. Чтобы сделать тезис более четким, пусть вычисление будет таким, что ответ после его получения (в отличие от результата разложения на множители) невозможно проверить с помощью легкоосуществимых вычислений. Процесс программирования квантового компьютера для выполнения вычислений такого рода, запуск программы и получение результата составляет доказательство того, что математическое вычисление дает именно этот конкретный результат.

Но в этом случае не существует способа записать все, что произошло в процессе доказательства, потому что большая часть всего этого протекала в других вселенных, а измерение состояния вычисления изменило бы интерференционные свойства и тем самым нарушило бы корректность доказательства. Таким образом, создание старомодного объекта доказательства оказывается невозможным; более того, во Вселенной, как мы ее знаем, и близко нет такого количества материала, чтобы создать подобный объект, поскольку в этом доказательстве больше шагов, чем существует атомов в известной Вселенной. Этот пример показывает, что возможность квантовых вычислений делает эти два понятия доказательства не эквивалентными. Интуиция доказательства как объекта не охватывает все способы, с помощью которых можно доказать математическое утверждение в реальности.

И вновь мы видим неадекватность традиционного математического метода достижения уверенности попытками устранения из нашей интуиции всех возможных источников неопределенности и ошибок, пока не останется одна только самоочевидная истина. Именно так поступал Гёдель. Именно так поступали Чёрч, Пост и особенно Тьюринг, когда пытались интуитивно постичь свои универсальные модели вычисления. Тьюринг надеялся, что его модель с абстрактной бумажной лентой настолько проста, настолько открыта и хорошо определена, что не зависит ни от каких допущений относительно физики, которые можно было бы в принципе опровергнуть, и, следовательно, она может стать фундаментом абстрактной теории вычислений, независимой от лежащей в ее основе физики. «Он считал, – как однажды сказал Фейнман, – что он понял бумагу». Но он ошибался. Реальная, квантово-механическая бумага очень сильно отличается от абстрактного материала, используемого машиной Тьюринга. Машина Тьюринга является всецело классической, она не принимает во внимание возможность того, что в различных вселенных на бумаге могут быть написаны различные символы, и что они могут интерферировать друг с другом. Безусловно, искать интерференцию между различными состояниями бумажной ленты непрактично. Но дело в том, что интуиция Тьюринга, из-за того, что в ней содержались ложные допущения из классической физики, заставила его абстрагироваться от некоторых вычислительных свойств его гипотетической машины – тех самых свойств, которые он намеревался сохранить. Именно поэтому результирующая модель вычисления оказалась неполной.

Различные ошибки, которые математики во все времена допускали в том, что касается доказательств и их надежности, вполне естественны. Настоящее обсуждение должно сформировать ожидание того, что современная точка зрения тоже не будет вечной. Но уверенность, с которой математики держались за эти недоразумения, а также их неспособность признать саму возможность ошибки во всем этом – следствие, на мой взгляд, древней и широко распространенной путаницы между методами математики и ее предметом. Сейчас я это поясню. В отличие от отношений между физическими сущностями, отношения между абстрактными сущностями не зависят от каких бы то ни было непредвиденных фактов и законов физики. Они полностью и объективно определяются автономными свойствами самих абстрактных сущностей. Математика, изучающая эти отношения и свойства, таким образом, изучает абсолютно необходимые истины. Другими словами, истины, изучаемые математикой, являются абсолютно надежными. Но это не значит, что наше знание этих необходимых истин само по себе является надежным и методы математики придают необходимую истинность своим выводам. Как-никак, математика изучает еще и ложные утверждения и парадоксы. И это не означает, что выводы из подобного изучения непременно являются ложными или парадоксальными.

Необходимая истина – это всего лишь предмет математики, а не награда, которую мы получаем за занятия математикой. Математическая уверенность не является и не может являться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина, надежная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являться математическое объяснение.

Почему же тогда математика работает так, как она работает? Почему она ведет к выводам, которые, несмотря на отсутствие надежности, можно принимать и без проблем применять в течение тысячелетий? Причина в том, что некоторая часть нашего знания физического мира столь же надежна и непротиворечива. А когда мы понимаем физический мир достаточно хорошо, мы также понимаем, какие физические объекты имеют общие свойства с абстрактными. Но, в принципе, надежность нашего знания математики остается зависимой от нашего знания физической реальности. Корректность каждого математического доказательства полностью зависит от того, правы ли мы относительно законов, управляющих поведением некоторых физических объектов, будь то генераторы виртуальной реальности, чернила и бумага или наш собственный мозг.

Таким образом, математическая интуиция – это вид физической интуиции. Физическая интуиция – это набор эмпирических правил (часть из которых, возможно, врожденные, а большинство – развившиеся в детстве) о том, как ведет себя физический мир. Например, у нас есть интуитивное представление о существовании физических объектов и того, что эти объекты обладают определенными свойствами: формой, цветом, массой и положением в пространстве, и некоторые из этих свойств существуют, даже когда за этими объектами не наблюдают. Другое такое представление заключается в том, что существует физическая переменная – время, – по отношению к которой свойства изменяются, но тем не менее объекты способны сохранять свою идентичность с течением времени. Еще одно заключается в том, что объекты взаимодействуют, и это взаимодействие может изменить некоторые их свойства. Математическая интуиция относится к тому способу, которым физический мир может демонстрировать свойства абстрактных сущностей. Одним из таких интуитивных представлений является абстрактный закон или, по крайней мере, объяснение, лежащее в основе поведения объектов. Интуитивное представление о том, что пространство допускает замкнутые поверхности, отделяющие «внутреннюю часть» от «наружной части», можно уточнить, преобразовав ее в математическую интуицию множества, разделяющего все на члены и не-члены этого множества. Однако дальнейшее уточнение математиками (начиная с опровержения Расселом теории множеств Фреге) показало, что это представление перестает быть точным, когда рассматриваемое множество содержит «слишком много» членов (слишком большую степень бесконечности членов).

Даже если бы хоть какая-то физическая или математическая интуиция была врожденной, это не придавало бы ей какого-то особого авторитета. Врожденную интуицию невозможно считать суррогатом «воспоминаний» Платона о мире форм, поскольку общеизвестно, что многие интуитивные представления, которые случайно развились у людей в процессе эволюции, просто ложны. Например, человеческий глаз и управляющее им «программное обеспечение» неявным образом воплощают ложную теорию о том, что желтый свет состоит из смеси красного и зеленого света (в смысле, что желтый свет дает нам точно такое же ощущение, как и смесь красного и зеленого света). В реальности все три типа света имеют разные частоты и не могут быть созданы посредством смешивания света других частот. Тот факт, что смесь красного и зеленого света кажется нам желтым светом, не имеет ничего общего со свойствами света, но связан со свойствами наших глаз. Это результат компромисса, имевшего место на каком-то древнем этапе эволюции наших далеких предков. Конечно, возможно (хотя я в это не верю), что геометрия Евклида или логика Аристотеля каким-то образом встроены в структуру нашего мозга, как считал философ Иммануил Кант. Но из этого логически не следует их истинность. Даже если представить еще более невероятный случай, что у нас есть врожденные интуитивные представления, от которых мы не в состоянии избавиться, такая интуиция все равно не будет необходимой истиной.

Таким образом, ткань реальности имеет более однородную структуру, чем это могло бы быть, окажись математическое знание надежно верифицируемым, а, значит, иерархическим, как считалось традиционно. Математические сущности являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на царство абстракций, которое рисуют Платон и Пенроуз: будучи по определению неощутимыми, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от законов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрести знание об этом царстве. И она накладывает строгие ограничения. Если в физической реальности постижимо все, то постижимые математические истины составляют бесконечно малое меньшинство тех, которые в точности соответствуют каким-то физическим истинам – вроде того факта, что при определенных манипуляциях определенными символами, записанными чернилами на бумаге, появятся другие определенные символы. Иначе говоря, это и есть те истины, которые можно представить в виртуальной реальности. У нас нет другого выбора, кроме как принять то, что непостижимые математические сущности тоже реальны, так как они возникают неустранимым образом в наших объяснениях постижимых сущностей.