Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

, разложение на множители является единственным (если не делать разницы между 1 и —1). Например,

6 = 2·3 = 2·(—3)·(—1) = (—2)·3·(—1) = (—2)·(—3).

Множителями в этом разложении являются 2 и 3. На множестве 

[-5] (его элементы — числа вида a + ib5, где а и b — целые), за исключением 1 и —1, разложить это число на множители можно уже не единственным способом:

6 = 2·3 = (1 + i5)·(1 — i5).

К примеру, целое число 6 (если принять, что 1 = —1) можно разложить на множители двумя разными способами.

Как говорится в пословице, нет худа без добра. Куммер начал охоту за доказательством теоремы Ферма, описав идеальные числа, и знаменитая недоказуемая теорема

Не существует тройки целых чисел х, у, z, которые удовлетворяли бы равенству хⁿ  + уⁿ = zⁿ для n > 2

была доказана для 100 первых показателей степени (ⁿ  < 100). Оставалось доказать ее для бесконечного множества чисел.

Эрнст Куммер.

Эрнст Куммер не только увлекался нумерологией, но также был ярым патриотом и славился неспособностью запомнить основы элементарной арифметики — обычные таблицы умножения. Когда ему нужно было использовать таблицу умножения в классе, он обращался к ученикам: «Семь на девять будет… эээ …» — тут какой-нибудь ученик, желая напакостить, обычно подсказывал неверный ответ: «Семь на девять будет шестьдесят один». «Нет, нет, шестьдесят девять», — подсказывал другой ученик, присоединяясь к общему веселью. И тогда бедному Куммеру не оставалось ничего другого, как невинно сказать: «Ну же, господа, давайте остановимся на чем-нибудь одном». Но правильный ответ был необходим, и Куммер начинал рассуждать логически. Сколько же будет 7·9? Числа 60, 62, 64, 66 и 68 не подходят, так как они четные, 61 и 67 не подходят, потому что они простые, 65 не подходит потому, что оканчивается на 5 и, следовательно, делится на 5. 69 тоже не подходит, так как очевидно, что оно слишком велико. Остается 63 — таким и должен быть ответ. Следовательно, 7·9 = 63.

1 + 1 = 2 и другие элементарные равенства

Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859) питал к числам особые чувства. Рассказывают, что даже ложась спать, он клал под подушку том «Арифметических исследований» Гаусса. А когда у Дирихле родился первый ребенок, он отправил тестю телеграмму:

2 + 1 = 3.

Яснее выразиться невозможно: раньше их было двое, и вот на свет появился третий. Кроме того, телеграммы в то время были очень дороги, так что послание Дирихле было не только лаконичным, но и дешевым. Он не первым и не последним использовал равенство, вынесенное в заголовок: сам Сократ ломал голову над выражением «1 + 1 = 2», будучи не в силах убедиться в его очевидности. Но что можно ожидать от человека, выбравшего своим девизом фразу «Я знаю только то, что ничего не знаю»?

Австрийский физик и математик Людвиг Больцман (1844–1906) как-то стал героем забавной сцены. Ученый умел быстро выполнять расчеты в уме, поэтому его занятия часто были настоящей пыткой для присутствующих: Больцман пропускал множество действий, так как считал очевидными вычисления, произведенные в уме, и даже не записывал их на доске. На одной из лекций его попросили все же расшифровать ход своих мыслей. Больцман покорно пообещал исправиться и продолжил рассуждения: «Как я уже говорил, поскольку pv = p₀v₀(1 + at) и так далее, и так далее», — однако по-прежнему ничего не записал. Закончил он свою непонятную лекцию бессмертной фразой: «Я верю, что все сказанное выше будет для вас столь же очевидным, как и то, что один плюс один равно двум». И тут, вспомнив о своем обещании записывать все вычисления, он подошел к девственно чистой доске и записал: «1 + 1 = 2».

Несколько позже Бертран Рассел (1872–1970) и Альфред Норт Уайтхед (1861–1947) удивили весь научный мир, создав на заре XX века (в 1910–1913 годах) невероятно сложный и почти недоступный для понимания трехтомный труд по логике, который, вслед за Ньютоном, назвали «Начала математики». Очевидное для непосвященных равенство «1 + 1 = 2», вынесенное в заголовок этой главы, во втором томе книги приводилось как теорема под номером 54.43, а весь первый том, можно сказать, подготавливал для него почву. Чтобы вы могли оценить всю «увлекательность» «Начал математики», приведем лишь один факт: редакция одной уважаемой газеты учредила премию для того, кто докажет, что прочел всю книгу. Премия так и осталась невостребованной. Какое-то время в редакции теплилась надежда, что хотя бы один из соавторов прочел книгу целиком, но эти ожидания были напрасными: и Уайтхед, и Рассел прочли только лично написанную часть труда.

Фрагмент «Начал математики», в котором приводится строгое доказательство равенства 1 + 1 = 2. Сначала, как иронично указано в тексте (здесь явно слышится шутливый тон Рассела), нужно определить операцию сложения.

Небольшие ошибки

Огюстен Луи Коши (1789–1857) как-то раз получил по почте объемный труд по теории чисел, в котором доказывалось, что диофантово уравнение

x³ + y³ + z³ = t³

не имеет целых решений. Коши, который отличался саркастичным и довольно насмешливым характером, отправил автору трактата письмо, состоявшее из одной строки:

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

Нечто подобное произошло с прекрасным французским математиком Альфонсом де Полиньяком (1817–1890), известным сегодня как автор гипотезы о простых числах, представляющей собой обобщение гипотезы Гольдбаха. Полиньяк провозгласил:

Любое нечетное число можно представить как сумму степени двойки и простого числа.

Гипотеза не только впечатляла, но и выглядела вполне правдоподобно. Рассмотрим любое число, например 63:

63 = 2⁵ + 31.

Так как 31 простое, то, похоже, гипотеза Полиньяка верна. Прибавим еще один факт: Полиньяк дал понять, что проверил свою гипотезу для всех чисел вплоть до 3000000. Однако, видимо, в его вычисления вкралась ошибка: уже для числа 127 гипотеза не выполняется. Перечислим шесть первых степеней двойки и убедимся в том, что это и в самом деле так:

127 = 2¹ + 125 = 2¹ + 5·25;

127 = 2² + 123 = 2² + 3·41;

127 = 2³ + 119 = 2³ + 7·17;

127 = 2⁴ + 111 = 2⁴ + 3·37;

127 = 2⁵ + 95 = 2⁵ + 5·19;

127 = 2⁶ + 63 = 2⁶ + 3·21.

Однако следующей степенью двойки будет уже 2⁸ = 128 — число, большее 127. Таким образом, несмотря на заявления Полиньяка, его гипотеза не выполняется для числа 127.

Удивительные расчеты

Следующая история произошла на собрании Американского математического общества в октябре 1903 года. Математик Фрэнк Нельсон Коул (1861–1926) должен был выступить с докладом на тему «О разложении больших чисел на множители».

Выступление Коула было не совсем обычным: он поднялся с места, подошел к доске и записал на ней 2⁶⁷—1 — число Мерсенна М₆₇, которое считалось простым. Далее Коул вычислил значение 267 и вычел из него 1. Присутствующие затаили дыхание, а Коул записал на доске еще два числа и вычислил их произведение: 193707721 x 761838257287. Полученное число 147573952589676412927, как и ожидалось, было равно искомому числу М₆₇. Коул развернулся и проследовал на свое место.